Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

10 1. FEJEZET. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK1.1. Feladat. ( Konvergensek-e ) az alábbi sorozatok? Ha igen határozzuk meg a határértéküket:3na) a n =2 +1, 1−nn 2 n( )5nb) a n =3 +1, 1−nn 2 n(nc) a n =2 +1, 1−2n,( ) )2n+1 n4n 2 +2 n 2n−3( √n+1− √d) a n =n−1,n 2, n√ )2n3 2 −n+2( ( ) n n )n!e) a n =2 n ,n 2 +12n 2 −3f) a n = (cos nπ, sin n)1.3. Valós változós vektor érték függvények1.3.1. Deníció. Legyen I ⊂ R, n ≥ 1, n ∈ N. Az f : I → R nf(x) = (f 1 (x), f 2 (x), ..., f n (x)), f k (x) ∈ R, k = 1, ..., n (1.3.1)függvényt valós változós vektor érték függvénynek nevezzük. Az f k (x) valós érték függvénytaz f függvény k-adik koordináta függvényének nevezzük.1.3.2. Deníció. Ha az f k (x) : I → R, k = 1, ..., n koordináta függvények deriválhatóak az x 0 ∈ Ipontban akkor az f(x) = (f 1 (x), f 2 (x), ..., f n (x)) deriválható az x 0 -ban ésf ′ (x 0 ) = (f ′ 1(x 0 ), f ′ 2(x 0 ), ..., f ′ n(x 0 )). (1.3.2)1.3.3. Deníció. Jelöljük C(I, R n )-rel az I-n folytonos vektor érték függvények halmazát, D(I, R n )-rel az I-n deriválható vektor érték függvények halmazát, C 1 (I, R n )-rel az I-n folytonosan deriválhatóvektor érték függvények halmazát.1.3.4. Deníció. Akkor mondjuk, hogy az R n valamely Γ részhalmaza sima elemi görbe, halétezik olyan I = [α, β] ⊂ R korlátos zárt intervallum és olyan folytonosan dierenciálható f : I → Γbijekció, amelynek deriváltjára teljesül az f ′ (t) ≠ θ n , t ∈ I feltétel. Ha f(α) = f(β), f : [α, β) → Γ\\ {f(β)} bijekció és az el®z® denícióbeli összes többi feltétel teljesül, akkor azt mondjuk, hogy Γsima, zárt elemi görbe.1.3.1. Megjegyzés. Bármely korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós változós valós értékfolytonosan dierenciálható függvény grakonja sima elemi görbe.1.3.5. Deníció. Legyen Γ ⊂ R n egy sima elemi görbe, f : [α, β] → Γ ennek egy paraméterezése ést 0 ∈ [α, β]. Aγ := {f(t 0 )+tf ′ (t 0 ) : t ∈ R} (1.3.3)egyenest a Γ görbe f(t 0 ) pontbeli érint®jének nevezzük.1.3. Példa. Tekintsük azcsavargörbét, melynek deriváltjaEgy tetsz®leges t 0 ∈ (0, 2π) pontban húzott érint®jef(t) = (cos t, sin t, 2t) ∈ R 3 , t ∈ [0, 2π] (1.3.4)f ′ (t) = (− sin t, cos t, 2) ≠ (0,0,0). (1.3.5)γ := {(cos t 0 −t sin t 0 , sin t 0 +t cos t 0 , 2t 0 +2t), t ∈ R}. (1.3.6)