Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

36 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁGTehát a parcális deriváltak a (0,0) pontban léteznek és 0-val egyenl®ek. Tegyük fel, hogy f differencálható(0,0)-ban. Ekkor a 3.1.3 deníció alapján, ha h = (h 1 , h 2 ) → (0,0) akkor a következ®kellene teljesüljön:|f(h 1 , h 2 )−f(0,0)−0.h 1 −0h 2 |lim√ = lim(h 1 ,h 2 )→(0,0)h21 +h 2 (h21 ,h 2 )→(0,0)h 1 .h 2h 2 1 +h 2 2= 0.Ez azonban ellentmondás, mivel lim (h1 ,h 2 )→(0,0) |h 1.h 2 |nem 0. Ez azonnal következik, abból hogy,h 2 1 +h2 2ha h 1 = h 2 = h irány mentén számoljuk a határértéket, akkorlim(h,h)→(0,0)h 22h 2 = 1 2 .Ha egy a pont környezetében léteznek a parciális deriváltak és folytonosak a-ban,akkor a 3.3.2 tétel alapján a függvény dierenciálható a-ban.3.6. Példa. Igazoljuk, hogy az f(x, y) = xy+y 2 függvény minden a = (a 1 , a 2 ) pontban dierenciálható.Számítsuk ki a gradiensét (derivátmátrixát) és a teljes dierenciálját általában a-ban, majdaz a = (1,3) pontban.Kiszámítjuk a parciális deriváltakat:f ′ x = y,f y = x+2y.Mivel a parciális deriváltak léteznek és folytonosak bármely a = (a 1 , a 2 ) pont környezetében, a3.3.2 tétel alapján f dierenciálható a-ban. A a 3.3.1 tétel alapján az a pontbeli derivált mátrixaegy 1×2-es mátrixf ′ (a) = (a 1 a 1 +2a 2 ),a gradiense a következ® vektora totális derivált vagy dierenciálgradf(a) = (a 1 , a 1 +2a 2 ),L(h 1 , h 2 ) = f ′ x(a)h 1 +f y (a)h 2 = a 1 h 2 +(a 1 +2a 2 )h 2 .Az a = (1,3) pontban a derivált mátrix f ′ (1,3) = (1 7), a dierenciál L(h 1 , h 2 ) = 1.h 1 +7.h 2 .A parciális deriváltak folytonossága a dierenciálhatóság elégséges de nem szükségesfeltétele.3.7. Példa. Igazoljuk, hogy azf(x, y) ={(x−y) 2 sin 1x−y ,0, x = yx ≠ yfüggvénynek léteznek a (0,0) pont környezetében a parciális deriváltjai, nem folytonosak a (0,0)pontban, de a függvény mégis dierenciállható a (0,0)-ban.Ha x ≠ y, akkorf ′ x = 2(x−y) sin 1x−y −cos 1x−y , f ′ y = −2(x−y) sin 1x−y +cos 1x−y .