Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

70 4. FEJEZET. SZÉLSŽÉRTÉK4.6. Példa. Határozzuk meg az f(x, y) = x + y 2 függvény feltételes széls®értékeit az x 2 + y 2 = 1feltétel mellett.A feltétel alapjánKeressük meg azfüggvénynek a lehetséges széls®értékeit.Az x és y, λ változók szerinti parciális deriváltja:InnenF (x, y) = x 2 +y 2 −1 = 0. (4.7.18)L(x, y, λ) = x+y 2 +λ·(x 2 +y 2 −1) (4.7.19)∂L= 1+2·λ·x = 0∂x(4.7.20)∂L= 2·y +2·λ·y = 0 ⇔ y ·(1+λ) = 0∂y(4.7.21)∂L∂λ = (x2 +y 2 −1) = 0 (4.7.22)y = 0 (4.7.23)vagy1+λ = 0 ⇔ λ = −1 (4.7.24)El®ször a (4.7.23) esetet vizsgáljuk meg. A kapott y-t behelyettesítve a (4.7.18) egyenletbe aztkapjuk, hogyx 2 −1 = 0 ⇔ x 1 = 1, x 2 = −1.A (4.7.24) esetb®l λ-t írjuk be a (4.7.20) és a (4.7.18) egyenletekbe. Ekkorx = 1 2√ √3 3y 1 =2 , y 2 = −2értékeket kapjuk. Az f függvénynek a P 1 (1,0), ha λ = − 1, P 2 2(−1,0), ha λ = 1, P 2 3( 1, √ 3) és P 2 2 4( 1, − 2− √ 3), ha λ = −1 pontokban lehet feltételes széls®értéke.2Vizsgáljuk, hogy a P 1 (1,0), λ=− 1 mellett az L(x, y, 2 λ)=x+y2 + −12 ·(x2 +y 2 −1)-nek széls®értékelesz-e? Kiszámítjuk az L másodrend parciális deriváltjait:a P 1 (1,0) tartozó kvadratikus alak:∂ 2 L∂x 2 = −1,∂ 2 L∂y 2 = 1,∂ 2 L∂x∂y = 0,D 2 L(P 1 ) = ∂2 L∂x 2 (P 1)h 2 1 +2 ∂2 L∂x∂y (P 1)h 1 h 2 + ∂2 L∂y 2 (P 1)h 2 2 = −h 2 1 +h 2 2nem szemidenit (el®jelt vált), ezért P 1 nem széls®értékpont.Vizsgáljuk, hogy a P 2 (−1,0), λ = 1 2 melett az L(x, y, λ) = x+y2 + 1 2 ·(x2 +y 2 −1)nek széls®értékelesz-e? Kiszámítjuk az L másodrend parciális deriváltjait:∂ 2 L∂x 2 = 1,∂ 2 L∂y 2 = 3,∂ 2 L∂x∂y = 0,