Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

7.4. A KETTŽS ÉS A HÁRMAS INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI 1117.4. A kett®s és a hármas integrálok alkalmazásaiEbben a részben a kett®s és hármas integrálok legfontosabb alkalmazásait foglaljuk össze röviden,bizonyítások nélkül.Területszámítás.Amint már láttuk az el®z®ekben a D ∈ R 2 halmaz akkor mérhet®, ha létezik az ∫∫ 1 dxdy, ekkorD∫∫T erD = 1 dxdy. (7.4.1)7.8. Példa. Határozzuk meg annak az els® síknegyedbeli tartománynak a területét, amelyet az y=xés y = x 2 görbék határolnak.A görbék metszéspontjainak abcisszái az x 2 =x egyenlet megoldásai, ezek az x 1 =0 és az x 2 =1.Jelöljük a görbék által közrezárt tartományt D-vel, ekkor:Oy-szerinti normál tartomány területe∫∫T erD =D1 dxdy =∫ 10D = {(x, y) ∈ R 2 : x ∈ [0,1], x 2 ≤ y ≤ x}(∫ x)1dy dx =x 2∫ 10D∫ 1[ x[y] x x 2dx = (x−x 2 2)dx =2 − x337.9. Példa. Számítsuk ki az x2 + y2= 1 ellipszis által határolt síkrérsz területét.a 2 b 2Az ellipszis által határolt D síkrérsz mindkét tengelyre nézve normáltartomány. Ha Oy tengelyszerinti normáltartománynak tekintjük, akkor{√√ }D = (x, y) ∈ R 2 : x ∈ [−a, a], −b 1− x2a ≤ y ≤ b 1− x2,2 a 2∫∫T erD =D1 dxdy =∫ a−a⎛⎝∫ b√1− x2a 2√−b 1− x2⎞01dy⎠ dx = 2a 2∫ a−ab√1− x2a 2 dx,amelyet alkalmas átalakítással ki tudunk számolni. Vegyük észre, azonban, hogy az x = ar cos ϕ,y = br sin ϕ transzformáció az elipszist a (r, ϕ) ∈ [0,1]×[0, 2π] téglalap tartományba transzformáljaés dxdy = abrdrdϕ, áttérve tehát a polárkoordinátákra jóval egyszerbb integrálra jutunk:∫∫∫ 1(∫ 2π) ∫ 1T erD = 1 dxdy = ab rdϕ dr = 2πab rdr = πab[r 2 ] 1 0 = πab.D00TérfogatszámításA kett®s integrál geometriai interpretációja alapján, ha D∈R 2 tartományon az f :D→R folytonosfüggvény nemnegatív, akkor aH = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}0] 10= 1 6 .térrész térfogata:∫∫V (H) = f(x, y) dxdy. (7.4.2)D