Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

8 1. FEJEZET. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEKHa n = 1, akkor ‖ x−y ‖= |x 1 −y 1 | a számegyenes két pontjának távolságát jelenti. Ha n = 2,3akkor a fenti képletb®l két síkbeli, illetve térbeli pont, távolságát kapjuk vissza.1.1.1. Tétel (Cauchy-Schwarz egyenl®tlenség). Bármely két x, y ∈ R n vektor esetén|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖. (1.1.6)Az egyenl®ség pontosan akkor áll fenn, ha létezik λ ∈ R szám, hogy x = λy.A tétel bizonyítását lásd például a [15]-ben a 26. oldalon. A Cauchy-Schwarz egyenl®tlenségfelhasználásával igazolható, hogy a norma a következ® tulajdonságokkal rendelkezik: bármely x, y∈∈ R n és bármely λ ∈ R esetén‖x‖ ≥ 0‖x‖ = 0 ⇔ x = θ n‖λx‖ = λ‖x‖‖x+y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖.1.1.4. Deníció. Egy a ∈ R n pont ɛ sugarú környezetén ahalmazt értjük.K ɛ (a) = {x ∈ R n : ‖x−a‖ < ɛ} (1.1.7)n = 1 esetén a K ɛ (a) az a pontra szimmetrikus 2ɛ hosszúságú (a − ɛ, a − ɛ) nyílt intervallum,n = 2 esetén K ɛ (a) az a pont körüli ɛ sugarú nyílt körlap, n = 3 esetén K ɛ (a) az a pont körüli ɛsugarú nyílt gömb.Környezetek segítségével, hasonlóan mint az R-ben, értelmezhetjük R n -ben is a bels®, a határ,az izolált, a torlódási pont fogalmát, továbbá a nyílt és zárt halamzokat. A deníciók szó szerintugyanazok mint a [16] 2.1 fejezetéban, de benne a pont, a környezet jelentése az (1.1.7)-nekmegfelel®. További elektronikusan elérhet® jegyzet ahol az el®bb említett fogalmak megtalálhatókpéldául [5] els® fejezete.1.2. Sorozatok R n -benLegyen n, az R n tér dimenziója, egy rögzített szám.1.2.1. Deníció. Az a : N → R n függvényt R n -beli sorozatnak nevezzük.Jelöléseka m = a(m) = (a m,1 , a m,2 , ..., a m,n ), a = (a m , m ∈ N). (1.2.1)Az (a m,i , m ∈ N), (i = 1, ..., n) sorozatot az i-edik koordináta sorozatnak nevezzük.1.2.2. Deníció. Az a = (a m , m ∈ N) R n -beli sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyanb ∈ R n , hogy bármely ɛ > 0-hoz létezik olyan N(ɛ) > 0 küszöbszám úgy, hogy ha n > N(ɛ), akkor‖a m −b‖ < ɛ. (1.2.2)Ekkor b-t a sorozat határértékének nevezzük és a következ® jelölést használjuka m → b (m → ∞) vagy limm→∞ a m = b. (1.2.3)Egy vektorsorozatot divergensnek nevezünk, ha nem konvergens.