Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

78 5. FEJEZET. VONALINTEGRÁLx-el összeköt® szakaszonként síma út, akkor ϕ∪η az a-t x+h-val összeköt® szakaszonként síma út,következésképpen F (x) = ∫ f és F (x+h) = ∫ f. a vonalintegrál út szerinti aditivitása alapjánϕ ϕ∪ηkövetkezik, hogy∫ ∫ 1F (x+h)−F (x) = f = < f(x+th), h > dt,∫ 1F (x+h)−F (x)− < f(x), h >= < f(x+th), h > dt− < f(x), h >=0Felhasználva, hogy | < u, v > | ≤ ||u||·||v||, a következ®t kapjuk:||F (x+h)−F (x)− < f(x), h > || = |≤∫ 10η0∫ 10∫ 1< f(x+th)−f(x), h > dt| ≤||f(x+th)−f(x)||·||h||dt ≤ ε(h)·||h||,0< f(x+th)−f(x), h > dt.ahol ε(h) = max t∈[0,1] ||f(x+th)−f(x)|| → 0, ha h → θ n mivel f folytonos. Innen következik, hogyF dierenciálható és F ′ (x) = f(x), bármely x ∈ U esetén.5.2.4. Megjegyzés. A tétel feltétele gyakorlatban ellen®rizhetetlen. Helyette egy könnyen ellen-®rizhet® szükséges feltételt, majd egy elégséges feltételt adunk a primitív függvény létezésére.5.2.4. Tétel. (Szükséges feltétel a primitív függvény létezésére.) Ha f : U → R n dierenciálhatóés van primitv függvénye, akkor az f deriváltmátrixa⎛∂f 1 ∂f 1 ∂f∂x 1 ∂x 2· · · 1⎞∂x n∂f 2 ∂f 2 ∂ff ′ ∂x(x) = ⎜1 ∂x 2· · · 2∂x n⎟⎝ . .... . ⎠∂f n ∂f∂x 2· · · n∂x nszimmetrikus a f®átlóra nézve, azaz∂f n∂x 1∂f i∂x j= ∂f j∂x i, 1 ≤ i, j ≤ n. (5.2.4)Bizonyítás. Ha F dierenciálható és F ′ = f, akkor ∂F∂x i= f i , ha i = 1, ..., 2. Ha még f isdierenciálható, akkor f i -nek léteznek a parciális deriváltjai és ezek az F másodrend parciálisderiváltjai lesznek:∂ ∂F= ∂f i. (5.2.5)∂x j ∂x i ∂x jMivel a feltétel alapján F kétszer dierenciálható, ezért F vegyes másodrend parciális deriváltjaiegyenl®k, vagyisA 5.2.5 és 5.2.6 alapján következik, hogy ∂f i∂x j∂ ∂F= ∂ ∂F. (5.2.6)∂x j ∂x i ∂x i ∂x j= ∂f j∂x i.5.2.5. Megjegyzés. A deriváltmátrix szimmetriája a primitív függvény létezésének szükséges, denem elégséges feltétele. Ezt jól tükrözi a következ® példa.y −x5.6. Példa. Mutassuk meg, hogy az f(x, y) = ( , ) függvény teljesíti a primitív függvényx 2 +y 2 x 2 +y 2létezésének szükséges feltételét az U = R 2 \{(0,0)} halmazon, de nincs primitív függvénye.