Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

3.4. A KÖZVETETT FÜGGVÉNY DERIVÁLT MÁTRIXA 39Bizonyítás. Mivel f ′ (a) egy m × n-es, g ′ (f(a)) egy k × m-es mátrix, ezért el lehet végezni ag ′ (f(a)) · f ′ (a) mátrixszorzást és az eredmény egy k × n-es mátrix lesz, amely megegyezik a (g ◦◦f) ′ (a) mátrix rendjével. Most kimutatjuk, hogy a jobb és bal oldalon szerepl® k ×n-es mátrixokegyenl®ek. Mivel f dierenciálható a-ban a deníció alapjánf(a+h)−f(a) = A·h+ε 1 (h)·‖h‖, (3.4.1)ahol, A = f ′ (a), ε 1 (θ n ) = θ m és ε 1 folytonos θ n -ban. Hasonlóan a deníció alapján, mivel g dierenciálhatób-beng(b+l)−g(b) = B ·l+ε 2 (l)·‖l‖, (3.4.2)ahol B = g ′ (b) = g ′ (f(a)), ε 2 (θ m ) = θ k és ε 2 folytonos θ m -ben. Válasszuk l-t a következ® módon:Ekkor f(a+h) = f(a)+l = b+l és így:Legyenl := f(a+h)−f(a).g ◦f(a+h)−g ◦f(a) = g(f(a+h))−g(f(a)) = g(b+l)−g(b) = B ·l+ε 2 (l)‖l‖ == B ·(f(a+h)−f(a))+ε 2 (f(a+h)−f(a))·‖f(a+h)−f(a)‖ == B ·(Ah+ε 1 (h)‖h‖)+ε 2 (f(a+h)−f(a))·‖A·h+ε 1 (h)·‖h‖‖ == B ·A·h+Bε 1 (h)·‖h‖+‖h‖ε 2 (f(a+h)−f(a))·A·h∥ ‖h‖ +ε 1(h)∥ =()= B ·A·h+ Bε 1 (h)+ε 2 (f(a+h)−f(a))·A·h∥ ‖h‖ +ε 1(h)∥ ‖h‖.(3.4.3)ε(h) := Bε 1 (h)+ε 2 (f(a+h)−f(a))·Ah∥‖h‖ +ε 1(h)∥ . (3.4.4)Igazolni fogjuk, hogy lim ε(h)=θ k . Valóban, mivel ε 1 (h)→θ m miközben h→θ n , ezért lim Bε 1 (h)=h→θ n h→θ n= θ k , tehát az ε(h) els® tagja tart θ k -hoz ha h → θ n . Azt, hogy a második tag is tart θ k -hoz, hah → θ n a következ®képpen igazoljuk: Az f a pontbeli dierenciálhatóságából következik az f apontbeli folytonossága, tehátlim (f(a+h)−f(a)) = θ m .h→θ nMivel ε 2 folytonos θ m -ben és ε 2 (θ m ) = θ k , az el®z® alapjánlim ε 2 (f(a+h)−f(a)) = θ k .h→θ n Be fogjuk látni, hogyAh∥‖h‖ +ε 1(h)∥ korlátos. Ennek érdekében a háromszög egyenl®tlenségetalkalmazzuk és azt kapjuk, hogy:∥ Ah∥‖h‖ +ε ∥∥∥1(h)∥ ≤ Ah‖h‖ ∥ +‖ε 1(h)‖.Figyelembe véve azt, hogy‖Ah‖ ≤ α‖h‖, ahol α = maxi=1,mn∑|a ij |j=1