Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

60 4. FEJEZET. SZÉLSŽÉRTÉKA parciális deriváltakat egyenl®vé tesszük nullával, az így kapott egyenletrendszer megoldásaiközött lesznek a függvény lehetséges széls®értékei. Mivel a parciális deriváltak törtek, egy törtpedig pontosan akkor nulla, ha a számlálója nulla, ezért a megoldások kielégítik azx 2 +y 2 +x−3y = 0 (4.5.10)−2x 2 −2y 2 +3x+y = 0 (4.5.11)egyenletrendszert. A fenti egyenletekb®l kiküszöbölve a négyzetes tagokat, arra a feltételre jutunk,hogy x = y. Ezt behelyettesítve az els®be, kapjuk, hogyx·(x−1) = 0 ⇒ x = 0 vagy x = 1.Mivel az x = 0 esetben nincs értelmezve a függvény, ezért csak az a = (1,1) pontban lehet a függvényneklokális széls®értéke.Ezután nézzük meg az f függvény második parciális deriváltjait.f xx(x, ′′ y) = (2x+1)(x2 +y 2 )−(x 2 +y 2 +x−3y)·2x= y2 −x 2 +6xy(x 2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 ) 2f ′′yy(x, y) = (−4y +1)(x2 +y 2 )−(−2x 2 −2y 2 +y +3x)·2y(x 2 +y 2 ) 2= x2 −y 2 −6xy(x 2 +y 2 ) 2f ′′xy(x, y) = f ′′yx(x, y) = (2y −3)(x2 +y 2 )−(x 2 +y 2 +x−3y)·2y(x 2 +y 2 ) 2= 3y2 −3x 2 −2xy(x 2 +y 2 ) 2A másodrend deriváltmátrix determinánsa az a pontban3D(a) =− 1 2 2∣− 1 − 3 ∣ = −102 2 4 .Mivel a determináns negatív az a pontban, ezért az f függvénynek nincs széls®értéke ebben apontban.4.3. Példa. Keressük meg az f(x, y) = y 2 +2x 2 y +x 4 függvény széls®értékeit.Az f függvény x és y változók szerinti parciális deriváltjai:Megoldva azf ′ x(x, y) = 4xy +4x 3f ′ y(x, y) = 2y +2x 20 = 4xy +4x 3 (4.5.12)0 = 2y +2x 2 (4.5.13)egyenletrendszert azt kapjuk, hogy y=−x 2 . Tehát az f függvénynek az y=−x 2 parabola pontjaibanlehet széls®értéke.