Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

4.7. FELTÉTELES SZÉLSŽÉRTÉK 69A feltételb®l x-et kifejezveés ezt behelyettesítve az f-be, egyx = 1−2y −3zh(y, z) = (1−2y −3z)·y 2 z 3 (4.7.14)kétváltozós függvényt kapjuk, amelynek a szabad széls®érték vizsgálatával megkapjuk az f feltételesszéls®értékeit. A (4.7.14) függvény parciális deriváltjai:Megoldva az:egyenletrendszert kapjuk, hogyh ′ y(y, z) = −2y 2 z 3 +(1−2y −3z)·2yz 3 = 2yz 3 ·(1−3y −3z)h ′ z(y, z) = −3y 2 z 3 +(1−2y −3z)·y 2 3z 2 = 3y 2 z 2 ·(1−3y −3z).h ′ y(y, z) = 2yz 3 ·(1−3y −3z) = 0 (4.7.15)h ′ z(y, z) = 3y 2 z 2 ·(1−3y −3z) = 0. (4.7.16)y = 0, vagy z = 0, vagy 1−3y −3z = 0.Az els® két esetben azt kapjuk, hogy bármely t ∈ R a P 1 (0, t) és P 2 (t,0) (t ∈ R) pontokban leheth-nak széls®értéke. Most nézzük a z = 1−3y esetet. Behelyettesítve a (4.7.16)-be,3( ) 2 1−3y3y 2 · ·(1−2y −4· 1−3y )= 0, (4.7.17)33egy szorzatot kapunk, amely pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényez®je nulla, ezért a (4.7.17)-bóly = 0, vagy (1−3y)2 = 0 ⇒ y = 1 1−3, vagy 1−2y −4· = 0 ⇒ y = 2− 1 93 36eredményekre jutunk. y = 0-t visszahelyettesítve z = 1−3y -ba azt kapjuk, hogy z = 1. Ugyanezt3 3végrehajtva y = 1-ra z = 0 és y = 2− 1 −3-ra z = lesz. Ezekb®l az esetekb®l kapjuk, hogy h-nak a3 6 2P 3 (0, 1), P 3 4( 1,0) és P 3 5( 11, −3 ) pontokban lehet széls®értéke.6 2Ezután a (4.7.16) egyenletet vizsgáljuk meg. Ebben az esetben h-nak a P 6 (0, 1), P 4 7( 1 ,0) és2P 8 (− 1, 5 ) pontkban lehet széls®értéke.3 12Ezután a másodrend deriváltmátrix determinánsát kell megvizsgálnunk. A h függvény másodikparciális deriváltjai:h ′′yy(y, z) = 2z 3 ·(1−3y −3z)+2yz 3 ·(−3) = 2z 3 ·(1−6y −3z)h ′′zz(y, z) = 3y 2 2z ·(1−2y −4z)+3y 2 z 2 ·(−4) = 6y 2 z ·(1−2y −6z)h ′′yz(y, z) = h ′′zy(y, z) = 2y3z 2 ·(1−3y −3z)+2yz 3 ·(−3)= 6yz 2 ·(1−3y −4z).A P 8 (− 1, 525) pontban a másodrend deriváltmátrix determinánsa: − < 0. Ezért h-nak a P 3 12 216 8pontban nincs széls®értéke. A P 5 ( 11, −3 ) pontban a második deriváltmátrix szintén indenit lesz,6 2ezért h-nak a P 5 pontban sincs széls®értéke.A függvénynek csak a P 1 (0, t) (t t . A (0, 1 ) pontban nincs széls®értéke.3 3 3Tehát, ha t < 1, akkor az f függvénynek a P 3 1(0, t) pontban feltételes minimuma van, ha t > 1,3akkor ugyanebben a pontban feltételes maximuma van.Ha a feltételekb®l az ismeretlenek kifejezése nem túl egyszer, akkor a feltételes széls®értékmeghatározása Lagrange-féle multiplikátoros módszerrel történik.