116 7. FEJEZET. KETTŽS, HÁRMAS INTEGRÁLOK
8. fejezetA Green-tétel és alkalmazása8.1. Green-tételA Green-tétel kapcsolatot teremt a vonalintegrálok és a kétszeres integrálok között. Segítségévela vonalintegrált - zárt görbék esetén - átírhatjuk kétszeres integrállá, ami gyakran leegyszersítia számításokat.8.1.1. Tétel. Legyen D ⊂ R 2 mindkét tengelyre nézve normál tartomány, az A olyan nyílt halmaz,amelyre D ⊂ A, P, Q : A → R folytonosan dierenciálható függvény, továbbá γ a D tartományhatárvonala pozitív irányítással, akkor∫∫ ∫ ( ∂QP (x, y)dx+Q(x, y)dy =∂x − ∂P )dxdy.∂yγA tétel alapján a D határvonalán számított vonalintegrált úgy is kiszámíthatjuk, hogy a zártgörbe által határolt tartományon integráljuk a ∂Q ∂Pés parciális deriváltak különbségét.∂x ∂yBizonyítás Ha D⊂R 2 az Oy tengelyre nézve normál tartomány, akkor léteznek f 1 , f 2 :[a, b]→Rfolytonos függvények úgy, hogy f 1 (x) ≤ f 2 (x) ∀x ∈ [a, b] ésDD = {(x, y) : x ∈ [a, b], f 1 (x) ≤ y ≤ f 2 (x)} (8.1.1)A γ görbét, amely a D tartományt közrezárja, négy részre osztjuk: γ 1 -re, ami az y = f 1 (x),a ≤ x ≤ b függvény grakonja, az A(b, f 1 (b)) és B(b, f 2 (b)) pontokat összeköt® szakaszra, a γ 2 -re,ami az y = f 2 (x), b ≥ x ≥ a függvény grakonja és a C(a, f 2 (a)) és D(a, f 1 (a)) pontokat összeköt®szakaszra. El¥ször igazolni fogjuk, hogy ha P folytonos D-n, továbbá létezik és folytonos a ∂P∂yparciális derivált az A tartományon, amely D-t és γ-t tartalmazza, akkorA Fubbini tétel alapján=∫ ba[∫ ∫D∫ ∫D∂P∂y∫γ(x, y)dxdy = − P (x, y)dx.∫∂Pb∂y (x, y)dxdy =](P (x, y)) f 2(x)f 1 (x)dx =∫ baa( ∫ f2 (x)f 1 (x)P (x, f 2 (x))dx−117)∂P∂y (x, y)dy dx∫ baP (x, f 1 (x))dx.