Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

76 5. FEJEZET. VONALINTEGRÁLLegyen f(x, y, z) = (f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z), f 3 (x, y, z)) = (y, z, x) vektorérték függvény, dx == (a cos t) ′ dt = −a sin tdt, dy = (a sin t) ′ dt = a cos tdt, dz = (bt) ′ dt = bdt.A vonalintegrál értéke a deníció alapján:∫C ydx+zdy+xdz=∫ 2π(−a 2 sin 2 t+abt cos t+ab cos t ) dt= ∫ 2π(−a2 1−sin 2t+ab cos t ) dt+ab ∫ 2π(t cos t) dt=2 0[==− a2 t− a2 cos 2t+ab sin t2 4[− a2 t− a2 cos 2t+ab sin t2 40] 2π]0 2π0+ab [t sin t] 2π0 −∫ 2π0sin tdt =+ab [t sin t] 2π0+ab2π sin 2π +cos 2π −cos 0 = −a 2 π − a24 + a20a2+[cos t]2π0=− 2π− a2 cos 2π+ab sin 2π+ a2 cos 0−ab sin 0+2 4 4 +1−1 = 4 −a2 π.5.5. Példa. Számítsuk ki az ∫ (x − y)dx + (x + y)dy integrált az óramutató járásával ellentétesγkörüljárással a (0,0), (1,0), (0,1) csúcspontú háromszögönA{háromszög oldalait jelöljük γ 1 -re, { γ 2 -re és γ 3 -mal. Ekkor γ =γ 1 ∪γ 2 ∪γ 3 . Ezek paraméterezése:x = tγ 1 :y = 0, ahol t ∈ [0,1] , γ x = t2 :y = 1−t, ahol t ∈ [0,1]{x = 0γ 3 :y = 1−t, ahol t ∈ [1,0].A∫vonalintegrál értéke deníció alapján:(x−y)dx+(x+y)dy =∫ γ γ 1(x−y)dx+(x+y)dy+ ∫ γ 2(x−y)dx+(x+y)dy+ ∫ γ 3(x−y)dx+(x+y)dy == ∫ 1(t·1+(t+0)·0) dt+∫ 1((t+t−1)·1+(t−t+1)·(−1)) dt+0 0+ ∫ 1((−1+t)·0+(1−t)·(−1)) dt = 1.05.1. Feladat. Számítsuk ki a következ® vonalintegrálokat:1) ∫ −ydx+xdy, ahol C az origóból az (1,2) pontba vezet® szakasz.C2) ∫ ydx+xdy, ahol C az origóból az (1,1) pontba haladó, y = C x2 egyenlet görbeív.3) ∫ xydx+(x+y)dy, ahol C az (−1,1) pontból a (2,4)pontba haladó, y C =x2 egyenlet görbeív.4) ∫ C (y2 −z 2 )dx+2yzdy −x 2 dz, ahol C az x = t, y = t 2 , z = t 3 (0 ≤ t ≤ 1) görbe, a paraméternövekedésének megfelel® irányítással.5.2.1. A primitív függvény fogalma5.2.3. Deníció. Legyen U ⊆ R n tartomány. Az F : U → R függvény az f : U → R n függvényprimitív függvénye, haI. F dierenciálható ésII. F ′ = f, azaz bármely (x 1 , x 2 , ..., x n ) ∈ U és i = 1, ..., n esetén∂F∂x i(x 1 , x 2 , ..., x n ) = f i (x 1 , x 2 , ..., x n ). (5.2.2)5.2.3. Megjegyzés. Ha F függvény az f függvény primitív függvénye, akkor a F +c is az.5.2.2. Newton - Leibniz formula5.2.2. Tétel. Ha U ⊂ R n tartomány, a ϕ : [α, β] → U síma út, és f : U → R n folytonos függvényt,amelynek létezik a F : U → R primitív függvénye, akkor∫f = F (ϕ(β))−F (ϕ(α)). (5.2.3)ϕ