Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

32 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁGszimbólumokkal jelöljük.Az e 2 iránymenti deriváltat az f második változója szerinti parciális deriváltjának nevezzük ésa∂ x2 f(a) = ∂f (a) = f ′ f(a 1 , a 2 +t)−f(a 1 , a 2 )x∂x 2(a) := ∂ e2 f(a) = lim(3.2.9)2 t→0 tszimbólumokkal jelöljük.3.2. Példa. Számítsuk ki az f(x 1 , x 2 ) = 5x 1 +3x 2 +x 2 1x 3 2 függvény parciális deriváltjait!Az x 1 szerinti parciális derivált az (1,0) iránymenti derivált, az el®z® példa alapján∂f∂x 1= 5+2x 1 x 3 2,az x 2 szerinti parciális derivált az (0,1) iránymenti derivált∂f∂x 2= 3+3x 2 1x 2 2.Ugyanerre az eredményre jutunk ha a ∂f∂x 1kiszámításakor úgy tekintjük, hogy az x 2 = konstansés az x 1 változó szerint deriválunk.A ∂f∂x 2kiszámításakor úgy tekintjük, hogy az x 1 = konstans, az x 2 változó szerint deriválva aztkapjuk, hogy:∂f= 3+3x 2∂x1x 2 2.2A gyakorlatban a parciális deriváltak kiszámításakor mindig ez utóbbi módszert szoktuk használni.A parciális deriváltak, iránymenti deriváltak geometriai jelentése Az f : D → R, D ⊂⊂R 2 nyílt halmaz, függvény (x 0 , y 0 )∈D pontbeli x változó szerinti parciális deriváltja a z =f(x, y)felület és az y = y 0 egyenlet sík metszésvonalának, azaz a x = t, y = y 0 , z = f(t, y 0 ), (t, y 0 ) ∈ Degyenlet görbének az x 0 ponthoz tartozó érint®jének a meredeksége.Az (x 0 , y 0 ) pontbeli y változó szerinti parciális deriváltja a z = f(x, y) felület és az x = x 0egyenlet sík metszésvonalának, azaz a x = x 0 , y = t, z = f(x 0 , t), (x 0 , t) ∈ D egyenlet görbénekaz y 0 ponthoz tartozó érint®jének a meredeksége.Kétváltozós valós érték függvények esetén az iránymenti deriváltaknak a következ® a geometriaijelentésük: legyen S 1 a z = f(x, y) függvény által meghatározott térbeli felület, a ′ = f(a) ∈ S 1 ,e egy egységvektor, e ′ az a ′ pontból kiinduló e-vel párhuzamos egységvektor. Legyen S 2 az a sík,amely párhuzamos a z tengellyel, az e egységvektorral és áthalad az a ponton. Tekintsük az S 1 , S 2metszete által meghatározott: Γ 1 = S 1 ∩S 2 görbét. Ekkor ∂ e f(a) a Γ 1 görbe a ′ pontjához tartozóiránytangensével egyenl®.Az n-dimenziós térnek tekintsük az⎧e 1 = (1,0,0, . . . ,0)⎪⎨ e 2 = (0,1,0, . . . ,0)(3.2.10).⎪⎩e n = (0,0,0, . . . ,1)bázisvektorait.