Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

3.7. A TAYLOR-FORMULA N-VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK ESETÉRE 513.15. Példa. Állítsuk el® a Taylor-formulával az f(x, y) = x 2 −2xy −3y 2 −2x−3y +2 függvénytaz (x−1) és az (y −2) hatványai szerint.Alkalmazzuk a fenti képletet az a = (1,2) és (h 1 , h 2 ) = (x, y)−(1,2) = (x−1, y −2) jelölésekkel.Kiszámítjuk a függvény behelyettesítési értékét és a megfelel® parciális deriváltjait a megadottpontban:f(1,2) = −21,f ′ x = (2x−2y −2) , f ′ x(1,2) = −4, f ′ y = (−2x−6y −3) , f ′ y(1,2) = −17,f ′′xx(1,2) = 2, f ′′xy(1,2) = −2, f ′′yy(1,2) = −6.Mivel a függvény kétváltozós másodfokú polinom, ezért a kett®nél magassabbrend parciálisderiváltjai nullával egyenl®ek. Innen következik, hogy a függvény egyenl® a másodfokú Taylorpolinomjával:f(x, y) = −21+(−4)·(x−1)−17(y −2)+2(x−1) 2 +2·(−2)(x−1)(y −2)−6(y −2) 2 =−21−4(x−1)−17(y −2)+2(x−1) 2 −4(x−1)(y −2)−6(y −2) 2 ,amely a polinom (x−1), (y −2) hatványai szerinti el®állítása.Általában, ha a Taylor formulát egy n-ed fokú polinomiális függvényre alkalmazzuk, akkor aztkapjuk, hogy a függvény egyenl® az n-ed fokú Taylor-polinomjával és az n-ed fokú maradéktagnulla. Nem polinomiális függvényekre alkalmazva a maradéktag nullától különböz®.3.16. Példa. Számítsuk ki az f :R 2 →R, f(x, y)=e x cos y függvény a=(0,0) pont körüli harmadfokúTaylor polinomját és maradéktagját.Alkalmazzuk a fenti a Taylor-formulát n=3-ra az a=(0,0)-ban és (h 1 , h 2 )=(x, y)−(0,0)=(x, y)jelölésekkel. Kiszámítjuk a függvény behelyettesítési értékét és a megfelel® parciális deriváltjait amegadott pontban:f(0,0) = 1, f ′ x = (e x cos y) , f ′ x(0,0) = 1, f ′ y = (−e x sin y) , f ′ y(0,0) = 0,f ′′xx = (e x cos y) , f ′′xx(0,0) = 1, f ′′xy = (−e x sin y) , f ′′xy(0,0) = 0, f ′′yy = (−e x cos y) , f ′′yy(0,0) = −1,f ′′′xxx = (e x cos y) , f ′′′xxx(0,0) = 1, f ′′′xxy = (−e x sin y) , f ′′′xxy(0,0) = 0,f ′′′xyy = (−e x cos y) , f ′′′xyy(0,0) = −1, f ′′′yyy = (e x sin y) , f ′′′yyy(0,0) = 0,f (4)x 4 = e x cos y, f (4)x 3 y = −ex sin y, f (4)x 2 y 2 = −e x cos y, f (4)xy 3 = e x sin y, f (4)y 4 = e x cos y.Tehát a harmadfokú Taylor-polinom:T 3 f(x, y) = 1+ 1 1! (1·x+0·y)+ 1 2! (1·x2 −2·0xy −1·y 2 )+ 1 3! (1·x3 +3·0x 2 y +3·(−1)xy 2 +0·y 3 ) =A harmadfokú maradéktag:1+x+ 1 2 (x2 −y 2 )+ 1 6 (x3 −3xy 2 ).R 3 f = 1 4! [x4 e vx cos vy −4x 3 ye vx sin vy −6x 2 y 2 e vx cos vy +4xy 3 e vx sin vy +y 4 e vx cos vy], v ∈ (0,1).