Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

7.4. A KETTŽS ÉS A HÁRMAS INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI 115∫∫xϕ(x, y) dxdyDx S =, (7.4.5)ϕ(x, y) dxdy∫∫D∫∫yϕ(x, y) dxdyDy S =. (7.4.6)ϕ(x, y) dxdy∫∫DHa a D⊆R 3 test srségeloszlása ϕ:D→[0, ∞), akkor az S =(x S , y S , z S ) súlypont koordinátái:∫∫∫xϕ(x, y, z) dxdydzDx S =, (7.4.7)ϕ(x, y, z) dxdydz∫∫∫D∫∫∫yϕ(x, y, z) dxdydzDy S =, (7.4.8)ϕ(x, y, z) dxdydz∫∫∫D∫∫∫zϕ(x, y, z) dxdydzDz S =. (7.4.9)ϕ(x, y, z) dxdydz∫∫∫D7.4. Feladat. Számítsuk ki a következ® hármasintegrálokat:1) ∫∫∫ (xy T −2zx+y2 )dxdydz, T = [0,1]×[1,2]×[0,2],2) ∫∫∫ T (xy2 −2x+zy 2 )dxdydz, T = [−1,1]×[0,1]×[1,2],3) ∫∫∫ xyzdxdydz, T = [0,2]×[−1,2]×[0,3].T4) ∫∫∫ (x+y +z)dxdydz, T = {(x, y, z) ∈ R, x ∈ [0,1], 0 ≤ y ≤ T x2 , 0 ≤ z ≤ x+y},5) ∫∫∫ (xyz)dxdydz, T = {(x, y, z) ∈ R, y ∈ [0,1], T y2 ≤ x ≤ √ y, 0 ≤ z ≤ xy},6) ∫∫∫ (x−y −z)dxdydz, T = {(x, y, z) ∈ R, z ∈ [0,2], T z2 ≤ y ≤ 2z, 0 ≤ x ≤ z −y}.