Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

66 4. FEJEZET. SZÉLSŽÉRTÉKEzt az egyenletrendszert azonnal megkapjuk, ha azL(x, y, λ) = f(x, y)+λF (x, y)ún. Lagrange-féle segédfüggvénynek kiszámítjuk a parciális deriváltjait és azokat egyenl®vétesszük nullával.Fogalmazzuk meg a feladatot általánosabban.4.7.1. Deníció. Legyen f : H → R többváltozós valós érték dierenciálható függvény, ahol H ⊆⊆ R n , és E ⊆ R n a következ®képpen van megadvaE = {z ∈ R n : F i (z) = 0, i = 1, ..., q }, F i (z) : R n → R, i = 1, ..., q (q < n).Az f-nek az F i , i = 1, ..., q feltételekre vonatkozóan feltételes lokális széls®értéke van azz 0 ∈ R n pontban, ha f| E-nek lokális széls®értéke van az z 0 ∈ R pontban.A továbbiakban vezessük be a következ® jelöléseket: H = A × B, z = (x, y) F : A × B → R vektor érték függvény, melynek koordináta függvényei az F i , ahol A ⊆ R p , p, q ∈ N ∗ , p + q = n,x ∈ A ⊆ R p és y ∈ B ⊆ R q . Ekkor az E halmazt az F (x, y) = θ q összefüggés határozza meg.Tegyük fel, hogy z 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ H pontban, ahol x 0 ∈ A, y 0 ∈ B, az f függvénynek feltételeslokális széls®értéke van az F (x, y) = θ q feltétel mellett. Továbbá tegyük fel azt is, hogy az F függvényaz (x 0 , y 0 ) pont valamely környezetében teljesíti az implicit függvény dierenciálhatóságáravonatkozó tétel feltételeit. Ekkor létezik egy és csakis egy g : X → Y, g(x) = (g 1 (x), ..., g q (x))függvény, ahol X az x 0 , Y pedig az y 0 pontnak bizonyos környezete úgy, hogy g(x 0 ) = y 0 ésF (x, g(x)) = θ q bármely x ∈ X esetén. Keressük annak a szükséges feltételeit, hogy a h(x) :==f(x, g(x)) egyenl®séggel értelmezett h:X →R valós érték függvénynek x 0 pontban széls®értékelegyen.Tegyük fel, hogy f függvény dierenciálható az A × B halmazon, akkor h dierenciálható azX halmazon. A h függvény x j változó szerinti parciális deriváltja az x 0 pontban:0 = h ′ x j(x 0 ) = f x ′ 1(x 0 , g(x 0 ))·0+. . .+f x ′ j(x 0 , g(x 0 ))·1+0+. . .+0q∑+ f y ′ k(x 0 , g(x 0 ))· ∂g ∣k ∣∣∣(x0, j = 1, ..., p∂x j ,g(x 0 ))0 = h ′ x j(x 0 ) = f ′ x j(x 0 , g(x 0 ))+q∑k=1k=1f y ′ k(x 0 , g(x 0 ))· ∂g ∣k ∣∣∣(x0, j = 1, ..., p, (4.7.5)∂x j ,g(x 0 ))ami a feltételek miatt nullával egyenl®.Az egyenletrendszer tartalmazza a g függvény komponenseinek a parciális deriváltjait, amelyeka feladat adatai között nem szerepelnek. Ezeknek a kiküszöböléséreF (x, g(x)) = θ q ⇔ F i (x, g(x)) = 0, i = 1, qegyenl®séget használhatjuk fel, amely bármely x ∈ X esetén fennáll. Kiszámítjuk az F i (x, g(x))függvény x j változó szerinti parciális deriváltjait az az (x 0 , y 0 ) pontban, ahol y 0 = g(x 0 ):0 = ∂F ∣i ∣∣∣(x0·1+∂x j ,y 0 )q∑k=1∣∂F i· ∂g ∣∣∣∣k, j = 1, ..., p, i = 1, ..., q. (4.7.6)∂y k ∂x j(x 0 ,y 0 )