Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

3.1. A DIFFERENCIÁLHATÓSÁG DEFINÍCIÓJA 29Bizonyítás.⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞a 11 a 12 . . . a 1nx 1 a 11 x 1 +a 12 x 2 +· · ·+a 1n x nA·x = ⎜ a 21 a 22 . . . a 2n⎟x 2⎝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ ⎜ ⎟⎝ . ⎠ = a 21 x 1 +a 22 x 2 +· · ·+a 2n x n⎜⎟⎝ .⎠ . (3.1.11)a m1 a m2 . . . a mn x n a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x nTehát az A·x j-edik sorára igaz a következ®|(A·x) j | = |a j1 x 1 +a j2 x 2 +· · ·+a jn x n | ≤ |a j1 x 1 |+|a j2 x 2 |+· · ·+|a jn x n | ≤ (3.1.12)|a j1 |||x|| ∞ +|a j2 |||x|| ∞ +· · ·+|a jn |||x|| ∞ ≤ (|a j1 |+|a j2 |+· · ·+|a jn ||)||x|| ∞ , j = 1, . . . , m. (3.1.13)Innen||A·x|| ∞ ≤ max (|a j1|+|a j2 |+· · ·+|a jn |)||x|| ∞ = α||x|| ∞ . (3.1.14)1≤j≤mA tétel bizonyítása.Tegyük fel, hogy f dierenciálható az a-pontban, akkor a denició alapján f(a+h)−f(a) == L(h)+ε(h)·||h||, ahol az ε : K δ (θ n ) → R m függvényre teljesül a lim h→θn ε(h) = θ m = ε(θ n ) feltétel.Legyen h = x−a → θ n ha x → a, ekkor felhasználva az el®bbi Lemmát‖f(x)−f(a)‖ ∞ = ‖A(x−a)+ε(h).‖h‖‖ ∞ ≤ ‖A(x−a)‖ ∞ +‖ε(h)‖ ∞ ‖x−a‖ ≤ α‖x−a‖ ∞ ++‖ε(h)‖ ∞ ‖x−a‖ → 0.(3.1.15)Következésképpen f folytonos a-ban.Amint már a valós változós valós érték függvények esetében tisztáztuk, a folytonosság adierenciálhatóság szükséges, de nem elégséges feltétele. Ez többváltozós függvények eseténis igaz. Ennek indoklására kés®bb adunk egy példát, amely esetében a f egy adott pontbanfolytonos, de nem dierenciálható.3.1.3. Tétel. Ha az f dierenciálható az a∈U ∩U ′ pontban akkor a denícióban szerepl® A mátrixegyértelmen meghatározott.A dierenciálhatóság deníciója a következ®vel ekvivalens:3.1.3. Deníció. Az f : U → R m dierenciálható a-ban, ha létezik A ∈ M m×n mátrix úgy, hogy||f(a+h)−f(a)−A·h||lim= 0.h→θ n ||h||3.1.4. Tétel. Az f : U → R m ⎛ ⎞f 1 (x)f 2 (x)f(x) = ⎜ ⎟⎝ . ⎠f m (x)dierenciálható az a ∈ U ∩U ′ -ean és a derivált mátrixa ebben a pontban⎛⎞a 11 a 12 . . . a 1n⎜ a 21 a 22 . . . a 2n⎟⎝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ ,a m1 a m2 . . . a mnakkor és csak akkor, ha az f függvény f i koordináta függvényei is dierenciálhatók az a-ban és ateljes dierenciáljaf ′ i(a)·h = a i1 h 1 +a i2 h 2 +...+a in h n .