Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

3.3. KAPCSOLAT A DERIVÁLTMÁTRIX ÉS A PARCIÁLIS DERIVÁLTAK KÖZÖTT 37Ha x = y, akkor a parciális deriváltakat a deníció alapján számítjuk ki:f x(x, ′ f(x+h, x)−f(x, x) h 2 sin(1/h)−0x) = lim= lim= 0,h→0 hh→0 hTehát:f y(x, ′ f(x, x+h)−f(x, x) h 2 sin(−1/h)−0x) = lim= lim= 0.h→0 hh→0 hf ′ x(x, y) =f ′ x(x, y) ={2(x−y) sin 1 −cos 1x−y0, x = yx−y ,{−2(x−y) sin 1 +cos 1x−y0, x = y.x−y ,x ≠ yx ≠ yMost igazoljuk, hogy az f x,′ f y ′ nem folytonosak a (0,0)-ban. Észrevesszük, hogy ha az x = 2yegyenes mentén tartunk a (0,0) ponthoz, akkor alim f x(h, ′ 2h) = lim (−2h sin(−1/h)−cos(−1/h)) = lim (− cos(1/h)) ,h→0 h→0 h→0lim f y(h, ′ 2h) = lim (2h sin(−1/h)+cos(−1/h)) = lim (cos(1/h)) ,h→0 h→0 h→0határértékek nem léteznek, ezért f x,′ f y ′ nem folytonosak a (0,0)-ban. A (0,0) pontbeli dierenciálhatóságota 3.1.3 deníció alapján vizsgáljuk:⎧f(x, y)−f(0,0)−f x(0,0)x−f ′ y(0,0)y′ ⎨ (x−y)√ =√x 2sin 1 , x ≠ y2 +y 2 x−yx2 +y 2 ⎩0, x = y.Mivel ∣ ∣∣∣∣(x−y) 2√x2 +y sin 12 x−y ∣ ≤ 2(x2 +y 2 )√x2 +y = 2√ x 2 +y 2 ,2ezért|f(x, y)−f(0,0)−f x(0,0)x−f ′ ′lim√y(0,0)y|= 0.(x,y)→(0,0)x2 +y 2f dierencálható a (0,0)-ban, annak ellenére hogy az f ′ x,f ′ y nem folytonosak a (0,0)-ban.3.8. Példa. Tanulmányozzuk az f : R 3 → R 2 , f(x, y, z) = (x cos y, y +sin z) függvény dierenciálhatóságát,számítsuk ki a deriváltmátrixát.Az f egy (x, y, z) háromdimenziós vektorhoz az f(x, y, z)=(f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z)) kétdimenziósvektort rendeli hozzá, ahol f 1 (x, y, z)=x cos y, f 2 (x, y, z)=y+sin z. Az f 1 , f 2 -nek bármely pontbanléteznek a parciális deriváltjai és folytonosak, ezért f dierenciálható. A derivált mátrixa egy 2××3-as mátrix lesz, amelynek elemei:f ′ (x, y, z) =(∂f1∂x∂f 2∂x∂f 1∂y∂f 2∂y∂f 1∂z∂f 2∂z)=( )cos y −x sin y 0. (3.3.2)0 1 cos z