Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

20 2. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK2.2.1. Iterált határértékekAz el®z® pontban deniált határértéken kívül még más típusú határértékeket is értelmezhetünk.Tekintsük a kétváltozós f : D → R, (x, y) → f(x, y) ∈ R, D = A 1 ×A 2 , A 1 , A 2 ⊆ R függvényt.Rögzítsük az y-t az A 2 -ben. Így egy x→f(x, y)∈R, x∈A 1 egyváltozós függvényt értelmeztünk,amelyet f(., y) : A 1 → R szimbólummal jelölünk, és tanulmányozzuk ennek a függvénynek az x 0 ∈∈ A ′ 1 pontban a lim x→x0 f(x, y) határértékét. Ha ez létezik, akkor az értéke általában függ y-tól.Rögzítsünk egy y 0 ∈ A ′ 2 pontot. Ha az el®bb említett határérték legfeljebb y 0 pont kivételévelminden y pontban létezik, akkor egyf 2 : A 2 \{y 0 } → R,f 2 (y) = limx→x0f(x, y) (2.2.13)y-tól függ® függvényhez jutunk és tanulmányozzuk ennek a függvénynek a határértékét az y 0pontban. Ha ez utóbbi határérték is létezik, akkor jelöljük az értékétHasonló gondolatmenettel jutunk el alimy→y 0lim f(x, y). (2.2.14)x→x0limx→x 0lim f(x, y)y→y0határértékhez, ha a megfelel® határértékek léteznek.2.2.2. Deníció. Alimy→y 0lim f(x, y),x→x0limx→x0lim f(x, y) (2.2.15)y→y0határértékeket az f függvény iterált vagy ismételt határértékeinek nevezzük az (x 0 , y 0 ) pontban.Az (x 0 , y 0 ) pontbeli határérték és iterált határértékei között a következ® kapcsolat van:2.2.2. Tétel. Tegyük fel, hogy az f : A 1 × A 2 → R függvénynek az z 0 = (x 0 , y 0 ), x 0 ∈ A 1 , y 0 ∈ A 2 ,pontban létezik határértéke. Ha bármely rögzített y ∈A 2 \{y 0 } esetén létezik az f(., y): A 2 \{y 0 }→R függvény határértékeaz x 0 pontban, akkor létezik lim y→y0 lim x→x0 f(x, y) éslimy→y 0lim f(x, y) = lim f(x, y). (2.2.16)x→x0 x→x 0 ,y→y 0 Ha pedig bármely rögzített x ∈ A 1 \ {x 0 } esetén létezik az f(x, .) : A 1 \ {x 0 } → R függvényhatárértéke az y 0 pontban, akkor létezik lim x→x0 lim y→y0 f(x, y) éslimx→x 0lim f(x, y) = lim f(x, y). (2.2.17)y→y0 x→x 0 ,y→y 02.2.2. Megjegyzés. Ha a tételbeli feltételek teljesülnek és létezik a függvénynek határértéke,akkor az iterált határértékek is léteznek és egyenl®ek a függvény határértékével. Ha az iterált határértékek különböznek, akkor a függvénynek nincs az (x 0 , y 0 ) pontban határértéke. Az iterált határértékek létezéséb®l és egyenl®ségéb®l nem következik a függvény határértékéneklétezése.