Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

4. fejezetSzéls®érték4.1. A valós-valós esetre vonatkozó tételekEbben a fejezetben többváltozós valós érték függvények széls®értékeinek megkeresésére adunkeljárást. A valós változós valós érték függvények széls®értékeire vonatkozó szükséges, illetve amásodrend elégséges feltételnek adjuk meg az általánosítását. El®bb elevenítsük fel az egyváltozósesetre tanult tételeket.4.1.1. Tétel. (A széls®érték létezésének szükséges feltétele.) Ha az f : (α, β) → R függvény aza ∈ (α, β) pontban dierenciálható és itt lokális széls®értéke van, akkor f ′ (a) = 0.4.1.2. Tétel. (Másodrend elégséges feltétel a széls®érték létezésére.) Ha az f : (α, β) → R függvényaz a ∈ (α, β) pontban kétszer dierenciálható f ′ (a) = 0 és f ′′ (a) ≠ 0, akkor a-ban lokálisszéls®értéke van. Ha f ′′ (a) > 0, akkor a lokális minimum pont, ha f ′′ (a) < 0, akkor a lokálismaximum pont.4.2. A széls®érték létezésének els®rend szükséges feltétele4.2.1. Deníció. Legyen U ⊆R n nyílt halmaz, f :U →R. Az a∈U pontban az f-nek lokális (helyi)minimuma (maximuma) van, ha létezik δ > 0 úgy, hogy f(a) ≤ f(x), (f(a) ≥ f(x)) igaz bármelyx ∈ K δ (a). Az f(a) lokális maximum (minimum), az a pedig lokális széls®érték pont.4.2.1. Tétel. Tekintsük a U ⊆ R n nyílt halmazon f : U → R dierenciálható függvénynt. Ha azf-nek a ∈ U pontban lokális széls®értéke van, akkorf ′ (a) = (∂ 1 f(a), . . . , ∂ n f(a)) = θ n .A tétel azt mondja ki, hogy egy dierenciálható függvény lokális széls®érték pontjaibana parciális deriváltak értéke 0.Bizonyítás Ha a például az f helyi minimuma, akkor az a ponton áthaladó bármely egyenesrevett leszkítésének is az a helyi minimuma. Tekintsük azt az egyenest, melynek irányvektora aze j j-edik egységvektor. Az f-nek erre az egyenesre vett leszkítéseF (t) = f(a+te j ).Úgy választjuk meg a δ-t, hogy a+te j ∈U és F (t)=f(a+te j )≥f(a)=F (0) teljesüljön ha t∈(−δ, δ).Ez azt jelenti, hogy az F (t) valós változós valós érték függvények a t = 0 pont helyi minimum53