Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

3.6. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK MAGASABBREND– DERIVÁLTJAI 453.6.1. Deníció. Tekintsük az f : U → R, U ⊆ R n nyílt halmazon értelmezett, n-változós valósérték függvényt. Ha ∀x ∈ U pontban f dierenciálható, azaz létezik azf ′ (x) = (∂ 1 f(x), ∂ 2 f(x), . . . , ∂ n f(x))és az f ′ (x) az a∈U pontban dierenciálható, akkor f kétszer dierenciálható a-ban. A parciálisderiváltak parciális deriváltjait másodrend parciális deriváltaknak nevezzük és a következ®képpenjelöljük:∂ j ∂ i f =∂2 f∂x j ∂x i= f ′′x j x i:=∂ ( ) ∂f.∂x j ∂x iHa f kétszer dierenciálható az U halmaz minden pontjában, akkor f kétszer dierenciálható U-n.Ekkor az⎛⎞∂ 1 ∂ 1 f(x) ∂ 2 ∂ 1 f(x) . . . ∂ n ∂ 1 f(x)f ′′ (x) := (f ′ (x)) ′ ∂ 1 ∂ 2 f(x) ∂ 2 ∂ 2 f(x) . . . ∂ 1 ∂ 2 f(x)= ⎜⎟ (3.6.1)⎝ .⎠∂ 1 ∂ n f(x) ∂ 2 ∂ n f(x) . . . ∂ n ∂ n f(x)mátrixot az f másodrend deriváltmátrixának nevezzük.A fenti kérdésre a következ® tétel ad választ:3.6.1. Tétel. Ha az f : U → R, (U ⊆ R n nyílt halmaz), függvény kétszer dierenciálható az a ∈ Upontban akkor a∂ i ∂ j f(a) = ∂ j ∂ i f(a), i, j = 1, ..., n, i ≠ j. (3.6.2)A tétel azt mondja, ki hogy ha az f kétszer dierenciálható a-ban, akkor az a pontbelimásodrend vegyes parciális deriváljainak kiszámításakor az eredmény függetlena változók szerinti parciális deriválás sorrendjét®l. Ebb®l az következik, hogy az f ′′ (a)másodrend deriváltmátrix szimmetrikus a f®átlóra nézve.Bizonyítás A bizonyítást kétváltozós valós érték függvények esetére végezzük el, azzal a megjegyzéssel,hogy hasonló gondolatmenettel igazoljuk a tételt n változó esetén is. Tegyük fel tehát,hogy f :U →R, (U ⊂R 2 nyílt halmaz), függvény kétszer dierenciálható az a=(a 1 , a 2 )∈U pontban.Vezessük be a∆(h, k) = f(a 1 +h, a 2 +k)−f(a 1 +h, a 2 )−f(a 1 , a 2 +k)+f(a 1 , a 2 ), (h, k ∈ K r (0), K r (a) ⊂ U)segédfüggvényt. A parciális deriváltak deníciója alapjánlimh→0∂ 1 ∂ 2 f(a) = limh→0( 1h limk→0∆(h, k)k), ∂ 2 ∂ 1 f(a) = limk→0( 1k limh→0)∆(h, k).hKi fogjuk mutatni, hogy ha f kétszer dierenciálható az a = (a 1 , a 2 ) pontban, akkor létezik a∆(h, h), és ez kétféleképpen fejezhet® ki:h 2∆(h, h)limh→0limh→0h 2∆(h, h)h 2= ∂ 1 ∂ 2 f(a)= ∂ 2 ∂ 1 f(a),ahonnan a határérték unicitása alapján következik a tétel állítása.