Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

94 6. FEJEZET. EGZAKT DIFFERENCIÁLEGYENLETEKMivel a példánk esetében:µ ′ ∂P(x)µ(x) =∂y − ∂Q∂xQ=− tg x−0−1= tg x.a jobboldal is csak x-t®l függ, ezért létezik csak x-t®l függ® integráló tényez®, és ez kielégíti akövetkez® összefüggést:µ ′ (x)= tg x.µ(x)Mindkét oldalt integrálva x szerint, megkapjuk µ(x)-et:∫ µ ′ (x)µ(x) dx = ∫∫ − sin xtg xdx, ln |µ(x)| = −cos x dx, ln |µ(x)| = − ln | cos x|+c 1ln |µ(x)| = ln | cos x| −1 +ln e c 1, ln |µ(x)| = ln | cos x| −1 e c 1ln |µ(x)| = ln | cos x| −1 c.Tehát µ(x)-nek választjuk a µ(x) = 1cos xfüggvényt. Az eredeti egyenlet mindkét oldalát ha beszorozzukµ(x)-el, akkor a következ®t kapjuk:( 1cos 2 x−ysin xcos 2 x)dx− 1 dy = 0.cos xLegyen P 1 (x, y)= 1 sin x−y , Q cos 2 x cos 2 x 1(x, y)=− 1 ≠0, (x, cos x y)∈D⊂R2 , tegyük fel, hogy D csillagszer.Ez az egyenlet már teljesíti az egzaktság elégséges feltételeit. Tehát a h(x, y)=(P 1 (x, y), Q 1 (x, y))== ( 1 sin x−y , − 1cos 2 x cos 2 x∫tetsz®leges, (x 0 , y 0 ) ∈ D rögzített pont, ekkor bármely γ út esetén, amely összeköti e két pontot:cos x) függvénynek létezik F (x, y) primitív függvénye. Legyen (x, y) ∈ D egyh(x, y) = F (x, y) − F (x γ 0, y 0 ). A primitív függvény meghatározása érdekében a γ = γ 1 ∪ γ 2 út,ami az x és y tengelyekkel párhuzamos szakaszokból áll. A γ paraméterezése az el®z® feladatokkalazonos módon történik, ami alapján a következ®höz jutunk:=∫∫ x∫ yh(x, y) = F (x, y)−F (x 0 , y 0 ) = P (t, y 0 )dt+ Q(x, t)dtγx 0 y 0( ) ∫ 1x 0cos 2 t −y sin ty1[0 dt−cos 2 ty 0cos x dt = tg t− y ] [ x y0 t−cos t x 0 cos x]y 0ycos x + y (0cos x = tg x−y )−cos x∫ x= tg x− y 0cos x −tg x 0 + y 0cos x 0−Tehát a primitív függvény F (x, y) = tg x −tg x− = c implicit egyenletet.ycos x(tg x 0 − y 0cos x 0).y , és a dierenciál egyenlet megoldásai kielégítik acos x6.3. Példa. Integráló tényez® segítségével tegyük egzakttá és oldjuk meg az alábbi dierenciálegyenletet!ydx−(x+y)dy = 0 (6.3.5)Legyen P (x, y) = y, Q(x, y) = −(x + y). Tegyük fel, hogy Q(x, y) ≠ 0, ha (x, y) ∈ D ⊆ R 2 .Vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e az egzaktság szükséges feltétele. Ennek érdekében kiszámítjuk aP y-szerinti és Q x-szerinti parciális deriváltját:∂P (x, y)∂y= 1 ≠∂Q(x, y)∂x= −1,