Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

18 2. FEJEZET. HATÁRÉRTÉKesetén létezik δ > 0 szám úgy, hogy ∀x ∈ (K δ \{x 0 })∩I esetén igaz az, hogy f(x) ∈ K ɛ (l). Ekkoraz l értéket a függvény x 0 pontbeli határértékének nevezzük, amit aszimbólummal jelölünk.lim f(x) = l (2.1.4)x→x 0Vizsgáljuk meg mit is jelent a fenti deníció néhány speciális esetben. El®ször nézzük a kétváltozósvalós érték függvények esetére.2.2. Kétváltozós valós érték függvény határértéke2.2.1. Deníció. Az f :D →R, D ⊂R 2 függvénynek a síkbeli D halmaz x 0 =(x 0 1, x 0 2)∈D ′ torlódásipontjában az l∈R határértéke, ha az l bármely ɛ>0 sugarú környezetéhez találunk az x 0 -nak olyanδ > 0 sugarú környezetét, amelyre igaz az, hogy ha x ∈ (K δ (x 0 )\x 0 )∩D, akkor f(x) ∈ K ɛ (l). Ekkorl a függvény x 0 pontbeli határértéke, amit a következ® szimbólummal jelölünk:lim f(x) = lim f(x 1 , x 2 ) = l. (2.2.1)x→x 0 x 1 →x 0 1 ,x 2→x 0 2Ha x 0 =(x 0 1, x 0 2)∈D ′ koordinátái végesek és l is véges a fenti deníció egyenérték a következ®vel∀ ε > 0, ∃ δ úgy, hogy√∀x = (x 1 , x 2 ) ∈ D, x ≠ x 0 , (x 1 −x 0 1) 2 +(x 2 −x 0 2) 2 < δ akkor |f(x)−l| < ɛ. (2.2.2)2.1. Példa. Tekintsük azf : R 2 \{θ 2 } → R, f(x 1 , x 2 ) = x 1x 2√x21 +x 2 2függvényt. Mivel bármely x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 \{θ 2 } eseténezért(2.2.3)|x 1 x 2 | ≤ x2 1 +x 2 2, (2.2.4)2|f(x 1 , x 2 )−0| = |x √1x 2 | x2√ ≤ 1 +x 2 2x21 +x 2 22= ||x−θ 2|| 2. (2.2.5)2Innen következik, hogy ha ||x−θ 2 || < 2ɛ = δ, akkor |f(x 1 , x 2 )−0| < ɛ. Tehát a függvény határértékea θ 2 = (0,0) pontban 0.2.2.1. Megjegyzés. A kétváltozós valós érték függvények határértékének deníciójából következik,hogy ha az x = (x 1 , x 2 ) pont a síkban bármilyen irányból közelíti meg az x 0 = (x 0 1, x 0 2) pontot,akkor a függvényértékek a közelítés irányától függetlenül ugyanahhoz az l értékhez tartanak.Azt a tényt, hogy a függvényértékek az iránytól függetlenül ugyanahhoz az értékhez közelednek,ha x → x 0 a polárkoordináták segítségével a legegyszerbb kimutatni.Legyen x = (x 1 , x 2 ) és x 0 = (x 0 1, x 0 2) két síkbeli pont. Jelöljük a két pont távolságát r-rel:√r = (x 1 −x 0 1) 2 +(x 2 −x 0 2) 2 . (2.2.6)Az x = (x 1 , x 2 ) → x 0 = (x 0 1, x 0 2) akkor és csakis akkor, ha r → 0. Jelöljük θ-val az x, x 0 pontokatösszeköt® egyenes és az Ox 1 pozítiv féltengely szögét. Ekkor{x 1 = x 0 1 +r cos θ(2.2.7)x 2 = x 0 2 +r sin θ.