Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

110 7. FEJEZET. KETTŽS, HÁRMAS INTEGRÁLOK∫ 20==0∫ 2(∫ 2−x0∫ 2(∫ 2−x00)[2xy(2−x−y)+(2−x−y) 2 ]dy dx)[6xy −2x 2 y −2xy 2 +4+x 2 +y 2 −4x−4y]dy dx[3x(2−x) 2 −x 2 (2−x) 2 − 2 3 x(2−x)3 +4(2−x)+x 2 (2−x)+ 1 3 (2−x)3 −4x(2−x)−2(2−x) 2 ]dx∫ 2= ( 80 3 − 4 3 x−2x2 + 5 3 x3 − 1 3 x4 )dx = 2815 .Az S tartományt fell lehet fogni, mint Oy szerinti normáltartományt, az integrálás sorrendjénekfelcserélésével a határok is meg fognak változni, ekkor az S a következ® képpen jellemezhet®:S = {(x, y, z) ∈ R 3 : z ∈ [0,1], x ∈ [0, 2−2z], y ∈ [0, 2−x−y ]}.2Ekkor a hármasintegrálban el®ször y szerint, majd x szerint és végl z szerint fogunk integrálni:∫∫∫∫ 1(∫ 2−2z(∫ 2−2z−x) )f(x, y, z)dxdydz =(4xy +8z)dy dx dz=S0∫ 1(∫ 2−2z0∫ 1(∫ 2−2z00000)[2x(2−2z −x) 2 +8z(2−2z −x)]dx dz)[8x+8xz 2 +2x 3 −24xz −8x 2 +8x 2 z +16z −16z 2 ]dx dz=∫ 17.3.2. Térbeli polártranszformáció0( 8 3 + 163 z −16z2 + 163 z3 + 8 3 z4 )dz = 2815 .Az z = r cos θ, x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ változócserével aΦ(r, θ, ϕ) = (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ) (7.3.4)az R sugarú gömböt a következ® téglatestbe transzformálja: 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.A transzformáció deriváltmátrixa⎛sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ⎞−r sin θ sin ϕφ ′ (r, θ, ϕ) = ⎝sin ϕ sin θ r cos θ sin ϕ −r sin θ cos ϕ⎠ .cos θ −r sin θ 0Mivel a deriváltmátrix determinánsa| det Φ ′ (r, θ, ϕ)| = r 2 cos 2 θ sin θ(cos 2 ϕ+sin 2 ϕ)+r 2 sin 3 θ(cos 2 ϕ+sin 2 ϕ) =ezért ha L az R sugarú gömb, akkor∫∫∫∫ R ∫ πf(x, y, z) dxdydz =L0= r 2 sin θ(cos 2 θ +sin 2 θ) = r 2 sin θ ≠ 0,0∫ 2π0f(r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ)r 2 sin θ dϕdθdr. (7.3.5)