Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

6.3. EGZAKTTÁ TEHETŽ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 936.3. Egzakttá tehet® dierenciálegyenletekVannak olyan 6.1.1 alakú dierenciálegyenletek, amelyek nem teljesítik az egzaktság szükségesfeltételét, de egy jól megválasztott, ún. integráló tényez® segítségével egzakttá tehet®k.6.3.1. Deníció. AP (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, Q(x, y) ≠ 0, (x, y) ∈ Ω,∂P (x, y)∂y≠∂Q(x, y)∂xalakú egyenlet egzaktá tehet®, ha létezik µ : Ω → R, µ(x, y) ≠ 0 függvény, úgy hogy aegzakt dierenciálegyenlet.(6.3.1)µ(x, y)P (x, y)dx+µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 (6.3.2)A µ(x, y) létezésének igazolása és meghatározásá általában nem könny. Ez alól kivételt képez,az amikor létezik csak x-t®l vagy csak y-tól függ® integráló tényez®. A következ® példákon keresztülmegmutatjuk, hogy mikor létezik csak x-t®l vagy csak y-tól függ® integráló tényez® és hogyanhatározzuk meg azokat.6.2. Példa. Integráló tényez® segítségével tegyük egzakttá és oldjuk meg az alábbi dierenciálegyenletet:( )1dy =cos x −y tg x dx. (6.3.3)Az egyenleten ekvivalens a következ® egyenlettel:( )1cos x −y tg x dx−1dy = 0.Legyen P (x, y)= 1cos x −y tg x, Q(x, y)=−1. Észrevesszük, hogy Q(x, y)≠0, ha (x, y)∈R2 . Vizsgáljukmeg, hogy teljesül-e az egzaktság szükséges feltétele. Ennek érdekében kiszámítjuk a P y-szerintiés Q x-szerinti parciális deriváltját:∂P (x, y)∂y= − tg x ≠∂Q(x, y)∂xtehát az egyenlet nem egzakt. Tanulmányozzuk, hogy van-e csak x-t®l függ® µ(x) integráló tényez®,amelyre fennálna a következ®:∂∂(P µ(x)) =∂y ∂x (Qµ(x)) .Ez utóbbi egyenérték a következ® feltétellel∂P∂yµ(x)+∂µ(x)∂y= 0,P = ∂Q ∂µ(x)µ(x)+∂x ∂x Q.Mivel ∂µ = 0, ezért ha van csak x-t®l függ® integráló tényez®, akkor∂y∂P∂y∂Q ∂µ(x)µ(x) = µ(x)+∂x ∂x Q.Tehát akkor van csak x-t®l függ® integráló tényez® ha a következ® egyenl®ség jobboldala is csak az x-t®l függ:µ ′ ∂P(x)µ(x) = − ∂Q∂y ∂xQ . (6.3.4)