Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

56 4. FEJEZET. SZÉLSŽÉRTÉK4.3.2. Tétel. Ha Q A (h) pozitív denit kvadratikus alak, akkor léteznek m, M > 0 számok úgy,hogym‖h‖ 2 ≤ Q A (h) ≤ M‖h‖ 2 , ∀h ∈ R n .Bizonyítás Mivel a Q A : R n → R kvadratikus alak folytonos az {h ∈ R n : ‖x‖ = 1} kompakthalmazon, ezért Weierstrass tétele miatt létezik ezen a halmazon maximuma és minimuma:M := max{Q A (h) ∈ R : h ∈ R n : ‖x‖ = 1},m := min{Q A (h) ∈ R : h ∈ R n : ‖x‖ = 1}.Legyen h ≠ θ n egy tetsz®leges vektor R n -b®l, ekkor∥Mivel∥ h‖h‖Q A (h) = Q A (‖h‖·∥ = 1, ezért a m és M deníciója alapjánh‖h‖ ) = ‖h‖2 Q A ( h‖h‖ ).m‖h‖ ≤ Q A (h) ≤ M‖h‖,ami Q A (θ n ) = 0 miatt a h = θ n esetén is fennáll.Az el®z® tételb®l és a pozitív (negatív) denitség deníciójából adódik:4.3.1. Következmény. Legyen Q A egy kvadratikus alak. A Q A pontosan akkor pozitív denit, halétezik olyan C > 0 szám, amelyreQ A (h) ≥ C‖h‖, h ∈ R n .A Q A pontosan akkor negatív denit, ha létezik olyan C < 0 szám, amelyreQ A (h) ≤ C‖h‖, h ∈ R n .4.4. Másodrend elégséges feltétel a széls®érték létezésére4.4.1. Tétel. Tegyük fel, hogy az U ⊆ R n nyílt halmazon értelmezett f : U → R függvény kétszerfolytonosan dierenciálható és az a ∈ U pontban f ′ (a) = θ n .Ha az f ′′ (a) másodrend deriváltmátrix ( Hesse-féle mátrix) pozitív denit, akkor a lokálisminimum pont.Ha az f ′′ (a) másodrend deriváltmátrix negatív denit, akkor a lokális maximum pont.Bizonyítás Tegyük fel, hogy f ′′ (a) pozitív denit. A Taylor-képlet alapján ∃v ∈ (0,1) úgy, hogyf(a+h) = f(a)+ 1 1! (∂ 1f(a)h 1 +∂ 2 f(a)h 2 +· · ·+∂ n f(a)h n )+ 1 2!Mivel f ′ (a) = θ n ezért ∂ k f(a) = 0, k = 1, ..., n, tehátf(a+h)−f(a) = 1 2n∑∂ i ∂ j f(a)h i h j + 1 2i,j=1n∑∂ i ∂ j f(a+vh)h i h j .i,j=1n∑(∂ i ∂ j f(a+vh)−∂ i ∂ j f(a))h i h j .i,j=1