Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

106 7. FEJEZET. KETTŽS, HÁRMAS INTEGRÁLOK7.2.6. Síkbeli polártranszformációA leggyakrabban használt változó csere a kett®s integrálok kiszámít±akor az ún. polártranszform¢ió.Ebben a részben bizonyítás nélkül megadjuk hogyan végezzük el ezt a változó cserétés néhány példán keresztül alkalmazzuk. A polártranszform¢ióra vonatkozó tétel bizonyításátlásd például a [18]-ben. Ha H kör, körcikk, körgyr cikk, akkor a φ(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) == (φ 1 (r, ϕ), φ 2 (r, ϕ)) transzformáció a H-t a φ(H) = [r 1 , r 2 ]×[ϕ 1 , ϕ 2 ] téglalap alakú tartománybatranszformálja. A transzformáció derivált mátrixaφ ′ (r, ϕ) =(∂Φ1∂r∂Φ 2∂r∂Φ 1∂ϕ∂Φ 2∂ϕ) ( cos ϕ −r sin ϕ=sin ϕ r cos ϕMivel a transzformáció deriváltmátrixának detreminánsa nem nulla, | det φ ′ (r, ϕ)| = |r cos 2 ϕ ++ r sin 2 ϕ| = r > 0, ha r ≠ 0, ezért az ∫∫ f(x, y)dxdy kett®s integrálban ha elvégezzük az x =D= r cos ϕ, y = r sin ϕ változócserét, akkor az integrál a következ® téglalap alakú tartományon vettkett®s integrállal lesz egyenl®:∫∫ ∫∫f(x, y) =f(r cos ϕ, r sin ϕ)r drdϕ. (7.2.22)h[r 1 ,r 2 ]×[ϕ 1 ,ϕ 2 ]Néhány példán keresztül nézzük meg a polártranszformáció alkalmazásának el®nyeit.7.4. Példa. Számítsuk ki a következ® kett®s integrált:∫∫(x 2 +y 2 )dxdy,Hahol H az a negyed körcikk, amelyet az Ox, Oy pozitív féltengelyek és az x 2 +y 2 = 1 egyenlet körhatárol.Ha H-t úgy tekintjük mint Oy tengely szerinti normáltartományt, akkor).H = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √ 1−x 2 },és∫∫H(x 2 +y 2 )dxdy =∫ 10( ∫√ )1−x 2(x 2 +y 2 )dy dx =0∫ 10(x 2√ 1−x 2 + (1−x2 ) 3 23)dx.Ez utóbbi integrált hellyettesítéssel tudnánk kiszámolni, ami elég hosszadalmas. Ha viszont áttérünka polárkoordinátákra, akkor egyszerbb integrált kapunk. Alkalmazzuk az x = r cos ϕ,y =r sin ϕ, transzformációt, akkor dxdy =rdrdϕ, és a negyedkörcikket a [0,1]×[0, π ] téglalap alakú2tartományba transzformáljuk, így a 7.2.22 alapján∫∫H(x 2 +y 2 )dxdy =∫ 1=0∫ π20∫ π20(r 2 cos 2 ϕ+r 2 sin 2 ϕ)rdrdϕ =[ r44] 1dϕ =0∫ π2014 dϕ = π 8 .∫ 10∫ π20r 3 drdϕ