Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

7. fejezetKett®s, hármas integrálok7.1. Egyváltozós valós függvények határozott integráljaEbben a fejezetben megadjuk a korlátos, zárt intervallumon értelmezett valós változós valós értékfüggvény határozott integráljának az általánosítását két-, háromváltozós függvények esetére.El®ször összefoglaljuk röviden az egyváltozós esetben a határozott integrál denícióját.7.1.1. Deníció. Legyen I = [a, b] egy zárt, korlátos intervallum. Aτ = {a = x 0 < x 1 < . . . x n−1 < x n = b}halmazt az I intervallum felosztásának nevezzük.Az I felosztásainak halmazát F(I)-vel jelöljük. Nyilvánvaló, hogy bármely két τ 1 , τ 2 ∈ F(I)felosztásra τ 1 ∪τ 2 ∈ F(I), τ 1 ∩τ 2 ∈ F(I).7.1.2. Deníció. Legyen f : I → R egy korlátos függvény és τ := {x 0 , x 1 , . . . x n } ∈ F(I) az Iintervallum egy felosztása. LegyenAzill. azm i = inf{f(x) : x i−1 ≤ x ≤ x i },M i = sup{f(x) : x i−1 ≤ x ≤ x i }.S(f, τ) :=s(f, τ) :=n∑(x i −x i−1 )M i ,i=1n∑(x i −x i−1 )m i ,i=1számot az f-nek a τ felosztáshoz tartozó fels®, ill. alsó közelít® összegének nevezzük.Az f függvény korlátosságából következik, hogy m i , M i , (i = 1, ..., n) véges számok. Következésképpena S(f, τ) és a s(f, τ) is véges számok Ha f(x) > 0, x ∈ I, akkor S(f, τ) az f grakonjaköré írt{(x, y) ∈ R 2 : x i−1 ≤ x ≤ x i , 0 ≤ y ≤ M i }téglalapok területének összegét jelenti. A s(f, τ) az f grakonjába beírt{(x, y) ∈ R 2 : x i−1 ≤ x ≤ x i , 0 ≤ y ≤ m i }97