Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

58 4. FEJEZET. SZÉLSŽÉRTÉKakkor az f függvénynek az a pontban nincs lokális széls®értéke.4.5.1. Következmény. Legyen f :U →R egy többváltozós valós érték függvény, ahol U ⊆R n nyílthalmaz, és a ∈ U lokális széls®értékhely. Ha az f függvény kétszer folytonosan dierenciálható a Uhalamazon akkor f ′ (a) = θ n és a másodrend¥derivált (ún. Hesse-féle) mátrix f ′′ (a) szemidenit.Kétváltozós függvények esetére a 4.3.2, 4.4.1, 4.5.1 Tételek alapján a következ®t kapjuk:4.5.2. Következmény. Tekintsünk egy kétváltozós kétszer dierenciálható függvényt az U-n. Tegyükfel, hogy az a ∈ U-ban∂f ∂f(a) = 0, (a) = 0. (4.5.1)∂x ∂yHadetf ′′ (a) = f xx(a)f ′′yy(a)− ( ′′ f xy(a) ) ′′ 2> 0, és f′′xx(a) < 0, (4.5.2)akkor a függvénynek a-ban lokális maximuma van. Hadetf ′′ (a) = f ′′xx(a)f ′′yy(a)− ( f ′′xy(a) ) 2> 0, és f′′xx(a) > 0, (4.5.3)akkor a függvénynek a-ban lokális minimuma van. Haakkor a nem széls®érték pont.detf ′′ (a) = f ′′xx(a)f ′′yy(a)− ( f ′′xy(a) ) 2< 0, (4.5.4)Az els® két állítás a felsorolt tételek azonnali következménye. Csak a harmadik állítást kellindokolni.Ha detf ′′ (a) = f xx(a)f ′′yy(a) ′′ − ( f xy(a) ) ′′ 2< 0, akkor a másodrend derivált mátrixhoz rendeltkvadratikus alakQ f ′′ (a) = f xx(a)h ′′ 2 1 +2f xy(a)h ′′1 h 2 +f yy(a)h ′′ 2 2el®jelt vált, tehát indenit. Valóban ha (h 1 , h 2 ) ≠ (0,0),[Q f ′′ (a) = h 2 1 f xx(a)+2f ′′xy(a) ′′ h ( ) ] 22+f ′′ h2hyy(a) .1 h 1el®jelt vált, mivel a zárójelben lev® másodfokú kifejezés diszkriminánsa a feltétel melett pozitív.4.1. Példa. Határozzuk meg az f(x, y) = sin x + cos y + cos(x − y) függvény szlés® értékeit, ha0 < x < π 2 és 0 < y < π 2 .El®ször keressük meg az f(x, y) függvény lehetséges széls®érték helyeit. Ezeket a pontokatakkor kapjuk meg, ha a függvény parciális deriváltjait egyenl®vé tesszük nullával, megoldjuk akapott egyenletrendszert. Az f függvény parciális deriváltjaiból alkotott egyenletrendszer:Az második egyenletb®l azt kapjuk, hogyf ′ x(x, y) = cos x−sin(x−y) = 0 (4.5.5)f ′ y(x, y) = − sin y +sin(x−y) = 0. (4.5.6)sin(x−y) = sin y ⇒ y = x +kπ, vagy x = π +2kπ (k ∈ Z).2