Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

8.2. A GREEN-TÉTEL ALKALMAZÁSA 119{x = cos tγ :y = sin t, ahol t ∈ [0, 2π].A vonalintegrál értékét a deníció alapján:∫∫ 2π(x−y)dx+xdy = ((cos t−sin t)(− sin t)+cos t cos t) dt=γ0∫ 2π0(− sin t cos t+sin 2 t+cos 2 t ) dt∫ 2π[ ] cos 2 2πt= (− sin t cos t+1) dt = +t = cos2 2π+2π − cos2 0−0 = 2π02022Ez után számítsuk ki a vonalintegrált a Green-tétellel. Ennek érdekében szükségünk van P y-szerinti és Q x-szerinti parciális deriváltjára:γ∂P (x, y)∂yD= −1,∂Q(x, y)∂xLegyen a γ által határolt tartomány D, amely a (0,0) középpontú egységnyi sugarú körlap. Akkora vonalintegrál a a Green-tételt alapján:∫∫ ∫ ( ∂QP (x, y)dx+Q(x, y)dy =∂x − ∂P ) ∫ ∫∫ ∫dxdy = (1+1)dxdy = 2 dxdy = 2π.∂yDDFelhasználtuk, hogy a D egységnyi sugarú körlap területe π. A Green-tétel segítségével sokkalegyszerbb, és rövidebb számítást kellett elvégeznünk.8.2. Példa. A Green-tétel alkalmazásával számítsuk ki a következ® vonalintegrált:∫xy 2 dy −x 2 ydx,ahol γ az x 2 +y 2 = a 2 körvonal.γLegyen P (x, y) = −x 2 y, Q(x, y) = xy 2 . A Green-tétel alapján a vonalintegrál∫∫ ∫ ( ∂QP (x, y)dx+Q(x, y)dy =∂x − ∂P )dxdy.∂yγA képletben szerepl® parciális deriváltak:∂P (x, y)∂y= −x 2 ,D∂Q(x, y)∂x= 1= y 2 .Legyen a γ által határolt tartomány D, a (0,0) középpontú a sugarú körlap.Tehát a Green-tételalapján∫∫ ∫(xy 2 dy −x 2 ydx = x 2 +y 2) dxdy.γEzt { az utóbbi integrált polártranszformációval számítjuk ki. Jelöljük:x = r cos θy = r sin θ, ahol r ∈ [0, a], θ ∈ [0, 2π].Elvégezve a polártranszformációt az el®bbi integrálban, a következ®t kapjuk:∫ ∫(x 2 +y 2) ∫ 2π ∫ a(dxdy = r 2 cos 2 θ +r 2 sin 2 θ ) ∫ 2πrdrdθ =D=∫ 2π0[ r44] a00dθ =0∫ 2π0D[ ]a 42π4 dθ = θ a4= 2π a4404 = πa42 .0∫ a0r 2 rdrdθ