Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

1.5. TÖBBVÁLTOZÓS VEKTOR ÉRTÉK– FÜGGVÉNYEK 151.4.2. n-változós valós érték függvények1.4.1. Deníció. Legyen D ⊂ R n . Akkor az f : D → R függvényt, amely∀x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ∈ D vektorhoz hozzárendel egy f(x) = f(x 1 , x 2 , ..., x n ) ∈ R (1.4.5)valós számot n változós vagy vektor változós valós érték függvénynek nevezzük.Például f(x 1 , x 2 , x 3 ) = √ 1−x 2 1 −x 2 2 −x 2 3 egy háromváltozós valós érték függvény. Ha nincsmegadva a függvény értelmezési halmaza, akkor azt a legb®vebb részhalmazt vesszük, ahol afüggvényt megadó formulának értelme van. Az el®z® függvény esetében például teljesülnie kell az1−x 2 1 −x 2 2 −x 2 3 ≥ 0 feltételnek, azaz az értelmezési halmaz az origó középpontú háromdimenziós,egység sugarú gömb és a belseje.1.5. Többváltozós vektor érték függvényekLegyen D ⊂ R n , x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ∈ D. Az f : D → R m ,⎛ ⎞ ⎛⎞f 1 (x) f 1 (x 1 , . . . , x n )f 2 (x)f(x) = ⎜ ⎟⎝ . ⎠= f 2 (x 1 , . . . , x n )⎜⎟⎝ . ⎠ , (1.5.1)f m (x) f m (x 1 , . . . , x n )n változós vektor érték függvénynek nevezzük. Az f i : D → R, (i = 1,2, ..., m) n-változósvalós érték függvényt az i-edik koordináta függvénynek nevezzük.1.6. Példa. Például az⎛ ⎞sin x 2 cos x 1f(x 1 , x 2 ) = ⎝sin x 2 sin x 1⎠ , (x 1 , x 2 ) ∈ [0,2π)×[0, π), (1.5.2)cos x 2függvény az (x 1 , x 2 ) kétdimenziós vektorhoz egy három dimenziós vektort rendel hozzá.1.5.1. Lineáris függvényekA valós változós valós érték lineáris függvényeket a következ®képpen értelmeztük:1.5.1. Deníció. Az f : R → R lineáris függvény, ha f(x+y) = f(x)+f(y),∀x, y ∈ R és f(λx) = λf(x), ∀λ, x ∈ R.Könny belátni, hogy az f : R → R függvény akkor és csak akkor lineáris, ha f(x) = ax alakú,ahol a ∈ R. A fenti denicíót kiterjeszthetjük vektor változós vektor érték függvényekre is.1.5.2. Deníció. Az L : R n → R m lineáris függvény (leképezés), ha L(x+y) = L(x)+L(y),∀x, y ∈ R n és L(λx) = λL(x), ∀λ ∈ R, x ∈ R n .