Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

5.2. A VONALINTEGRÁL DEFINÍCIÓJA 79Tekintsük a függvény koordináta függvényeit: f 1 (x, y) =∂f 1∂y = ∂f 2∂x = x2 −y 2(x 2 +y 2 ) 2y , fx 2 +y 2 2 (x, y) =−x . Ekkorx 2 +y 2teljesül, az U = R 2 \{(0,0)} tartományon, viszont az f függvény γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] zártúton vett vonalintegrálja:∫ ∫ 2π∫ 2πf = < f(γ(t)), γ ′ sin t(t) > dt = (cos 2 t+sin 2 t ·(cos cos tt)′ −cos 2 t+sin 2 t ·(sin t)′ )dtγ0=∫ 2π0−(sin 2 t+cos 2 t)d =0∫ 2π0(−1)dt = [−t] 2π0 = −2π ≠ 0.Tehát van olyan zárt út, amelyen vett vonalintegrál nem nulla. Ebb®l következik, hogy f-neknincs primitív függvénye.A primitív függvény létezésére vonatkozó elégséges feltétel megfogalmazásakor az U tartományratesszük a többletfeltételt.5.2.4. Deníció. Az U ⊆R n csillagtartomány, ha tartomány és létezik a∈U úgy, hogy bármelyx∈U esetén az a-t az x-el összeköt® szakasz benne van U-ban, azaz [a, x]={x+t(a−x), t∈[0,1]}⊂U.5.2.5. Tétel. (Elégséges feltétel csillagtartományon a primitív függvény létezésére.) Ha f : U →R n , U ⊆ R n csillagtartományon folytonosan dierenciálható és ∂f i∂x j= ∂f j∂x i(i, j = 1, · · · , n), akkorf-nek létezik primitív függvénye.Bizonyítás. Megszerkesztjük a primitív függvényt. Ha U csillagtartomány, akkor létezik olyana∈U pont, amelyre igaz, hogy bármely x∈U pont esetén [a, x]∈U. Tekintsük a ϕ(t)=a+t(x−a),t ∈ [0,1] szakaszt, amely az a-t összeköti x-el, és tekintsük a következ® függvényt:∫ ∫ 1F (x) := f = < f(ϕ(t)), ϕ ′ (t) > dt.ϕ0Igazolni fogjuk, hogy F deriválható és F ′ (x) = f(x). Ez utóbbi egyenl®ség azzal ekvivalens, hogy∂ k F (x) = f k (x), x ∈ U, 1 ≤ k ≤ n. Elegend® a bizonyítást elvégezni a = θ n , f(θ n ) = θ n esetén. Azáltalános esetet erre lineáris transzformációval vissza lehet vezetni. Ekkor ϕ(t) = tx, ϕ ′ (t) = x == (x 1 , · · · , x k , · · · , x n ),F (x) =∫ 10< f(tx), x > dt =∂F∂x k=j=1∫ 10(n∑f j (tx)x j )dt =j=1A paraméteres integrál dierenciálhatósága alapján:=n∑j=1∫ 10∂F∂x k=n∑∫∂ 1(f j (tx)x j )dt.∂x kn∑j=1∫ 1∂∂x kf j (tx)tx j dt+00∂∂x k(f j (tx)x j )dt =n∑j=1∫ 10n∑j=1∫ 10(f j (tx) ∂x j∂x k)dt =(f j (tx)x j )dt,