Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

7.2. KETTŽS INTEGRÁL 105Bizonyítás Tegyük fel, hogy H ⊂ I = [a, b]×[c, d]. Mivel f folytonos H-n és a H határvonalaifolytonos görbék ezért ∫∫ ˜f nem függ az I megválasztásától. A deníció és a Fubini-tétel alapján:I∫∫ ∫∫ ∫ b(∫ d) ∫ (b ∫ )ϕ(x)f = ˜f = ˜f(x, y) dy dx =f(x, y) dy dx.HIac7.2. Példa. Számítsuk ki a T tartományon a következ® kett®s integrált:∫∫2ydxdy, T = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ π , tg x ≤ y ≤ 1}.T4Mivel a T egy Oy tengely szerinti normáltartomány, ezért∫∫∫ π (∫4 1) ∫ π4 [2ydxdy = 2y dy dx =] ∫ πy2 1dx = 4(1−tg 2 x)dxtg xT0 tg x00=∫ π40aψ(x)[2−(1+tg 2 x)]dx = [2x−tg x] π 40 = π 2 −1.Vegyük észre, hogy a T úgy is felfogható, mint Ox tengely szerinti normál tartomány, akkor aT-t határoló görbék a következ®kT = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ arctan y}.ekkor el®ször x szerint, majd y szerint integrálunk:∫∫∫ 1(∫ arctan y)2ydxdy =2ydx dy =TEz utóbbi integrált parciális integrálással számoljuk:∫∫∫ 12ydxdy = [y 2 arctan y] 1 0 −T0= π 2 − ∫ 1000∫ 10[2xy] arctan y0=y 21+y dy = π ∫ 12 4 −0∫ 102y arctan ydy.y 2 +1−11+y 2 dy(1− 11+y 2 )dy = π 4 −[y −arctan y]1 0 = π 2 −1.Ha a T mindkét tengelyre nézve normáltartomány, akkor az integrálás sorrendjének felcserélésesorán az integrálási határok is megváltoznak.7.3. Példa. Számítsuk ki a T tartományon a következ® kett®s integrált:∫∫sin xT xdxdy,ahol T az a háromszög az xOy síkban, amelyet az Ox tengely, az y = x és az x = 1 egyenesekhatárolnak.Vegyük észre, hogy a T minkét tengelyre nézve normáltartomány. Ha úgy tekintenénk, mintOy-szerinti normáltartományt, akkor el®ször a következ® x-szerinti integrálást kellene elvégeznünk:∫ 1ysin xxdx,az integrál alatti kifejezés, azonban elemien nem integrálható. Tehát a szukcesszív integrálás ebbena sorrendben nem végezhet® el. Észrevesszük, hogy a fordított sorrendben alkalmazott szukcesszívintegrálást könnyen ki tudjuk számolni:∫∫Tsin xx dxdy = ∫ 10(∫ x0sin xx dy )dx =∫ 10[y sin x ] xdx =x0∫ 10sin xdx = [− cos x] 1 0 = 1−cos 1.