Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

4.3. KVADRATIKUS ALAKOK 554.3.2. Deníció. Tekintsük a Q A (h) kvadratikus alakot.Ha Q A (h) > 0, ∀h ∈ R n , h ≠ θ n , akkor pozitív denit.Ha Q A (h) ≥ 0, ∀h ∈ R n , akkor pozitív szemidenit.Ha Q A (h) < 0, ∀h ∈ R n , h ≠ θ n , akkor Q A (h) negatív denit.Ha Q A (h) ≤ 0, ∀h ∈ R n , akkor Q A (h) negatív szemidenit.Ha a fentiek közül egyik sem teljesül, akkor a kvadratikus alak indenit.4.3.1. Megjegyzés. Ha n = 1, akkor a másodrend deriváltmátrix egyetlen egy elemb®l az f ′′ (a)-ból áll. A hozzárendelt kvadratikus alak Q f ′′ (a)(h) = f ′′ (a) · h 2 . Ha f ′′ (a) > 0, akkor a Q f ′′ (a)(h)pozitív denit, ha pedig f ′′ (a) 0, k = 1, ..., n, akkor az A mátrix, illetve a hozzárendelt kvadratikusalak pozitív denit.ii) Ha (−1) k det A k > 0, k = 1, ..., n, akkor az A mátrix, illetve a hozzárendelt kvadratikus alak,negatív denit.Megjegyezzük, hogy az el®z® tétel a pozitív denitség ill. a negatív denitség egy elégséges,de nem szükséges feltétele. Ezzel a tétellel viszont a teljes négyzetek kialakítása nélkül, egyszerszámolással be lehet látni egy kvadratikus alakról, hogy pozitív (negatív) denit feltéve, ha az i)vagy az ii) feltételei teljesülnek. Ha az i) vagy ii)-ben megadott feltétel közül egyik sem teljesül,akkor a kvadratikus alak denitségét például az ú.n. teljes négyzetek módszerével tudjuk eldönteni.A kvadratikus alakokra vonatkozóan szükségünk van a következ® tételre: