15 - programa de pós graduação em métodos numéricos da ufpr ...

- Teorema: Seja A = (aij) uma matriz recíproca positiva de ordem n, λmax o máximo
autovalor de A e w = (w1, w2, …., wn) T o correspondente autovetor. Então, pode-se obter uma
matriz B = (bij) dada por:
1−λ
⎛ ⎞
λ ⎜
wi
b ⎟
ij = aij
⎜ ⎟
⎝
w
i, j = 1,2,…..,n e 0 < λ < 1, (8)
j ⎠
em que o seu autovalor principal μmax é menor ou igual a λmax, sendo que a igualdade só é
obtida quando A torna-se uma matriz perfeitamente consistente.
Como pode ser observado, a matriz B origina-se da matriz A. Portanto, observa-se que
B é uma matriz mais consistente que A. O algoritmo proposto pelos autores se baseia
exatamente nesse princípio: criar um processo iterativo de geração de matrizes filhas até se
obter um nível de consistência desejado.
Zeshui & Cuiping (1999) provam, também, que o algoritmo converge a cada iteração.
Como mencionado, o valor de λ pode variar entre 0 a 1 no algoritmo, sendo que este valor é
arbitrado. Os autores relatam que quanto menor o valor de λ (próximo a zero), maior a taxa de
convergência do algoritmo. Entretanto, um valor baixo para λ gera uma matriz final que
diverge mais significativamente da matriz original. Assim, sugerem utilizar λ entre 0,9 e 1,0.
Outra vantagem do método proposto é a possibilidade de se avaliar o resultado final gerado
pelo algoritmo através de dois indicadores, os quais são apresentados a seguir:
i,
j
{ } ) 0 ( ( m )
a a
δ = max − i, j = 1,2,….,n. (9)
e
ij
ij
n n
( m)
( 0)
∑∑ ( aij
− aij
)
j=
1 i=
1
2
σ =
, (10)
n
onde m consiste no número de iterações do algoritmo até a obtenção da matriz desejada, aij (m)
é o correspondente elemento aij da matriz original após a m-ésima iteração e n é a ordem da
matriz.
Os indicadores δ e σ medem o grau de desarranjo da matriz gerada em relação à
matriz original. Torna-se evidente, pela formulação matemática, que quanto menor o
resultado fornecido pelos indicadores, melhor a situação, tendo em vista que não são
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