Diplomová práce - Ústav automatizace a informatiky - Vysoké učení ...

Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 23
Při praktickém sestrojování frekvenční charakteristiky si frekvenční přenos G(jω)
ještě v obecném tvaru (před dosazením hodnot ω) upravím na složkový tvar komplexního
čísla (rozšířením zlomku číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli).
[ G(
jω)
] j Im[ G(
j )]
G ( jω)
= Re + ω
Při pohledu na obr. 3.2a je možné vidět sestrojení frekvenční charakteristiky ( jω)
(3.8)
G podle
(3.8), kde za ω byla dosazena zvolená čísla.
Druhým způsobem, jak lze sestrojit frekvenční charakteristiku v komplexní rovině
je z exponenciálního tvaru komplexního čísla (obr. 3.2b). Číslo a + jb se vyjádří ve
složkovém, goniometrickém nebo exponenciálním tvaru. Po úpravách díky Eulerova
vztahu [Švarc, 2002] pro převod goniometrického tvaru na exponenciální se dostaneme
vztah
G(
jω)
=
A(
ω)
⋅ e
jϕ (ω )
.
(3.9)
Odvozování Eulerových vztahů zde uvádět nebudu. Uvedu zde pouze dva vztahy.
První (3.10) v podstatě vyplývá z Pythagorovy věty a slouží k určení velikosti
amplitudy A . Druhým vzorcem (3.11) zjistím fázi ϕ . Oba údaje se uvádí do tabulky při
sestrojování frekvenční charakteristiky v komplexní rovině.
2
A = a +
b
b
ϕ = arctg
a
2
(3.10)
(3.11)
a) Im
b)
Im
ω = ∞
ω = 20
ω = 5
ω = 2
a = Acosα
b = Asinα
ω =1
Re
ω = 0
ω = 20
ω = 0,5
ω = 5
ω = ∞
G ( jω)
G( jω)
ω = 2
A
ϕ
ω =1
Re
ω = 0
ω = 0,5
a + jb
Obr. 3.2 - Frekvenční charakteristika v komplexní rovině
Pro názornost takovou tabulku uvedu a k ní pak sestrojím frekvenční
charakteristiku v komplexní rovině. Ke zvoleným hodnotám ω na kalkulačce dopočítám
hodnoty Re a Im a výsledky doplním do tabulky 3.1.