Diplomová práce - Ústav automatizace a informatiky - Vysoké učení ...

Použití vybraných metod na příkladech Strana 61
5.1.2 Nyquistovo kritérium
Příklad 5.2: Určete stabilitu regulačního obvodu podle obr. 5.3 pomocí Nyquistova
kritéria.
v
G S
( s)
=
1
G R
( s)
=
s
1
( s + 1)( 12s
+ 1)
Obr. 5.3
y
w
Řešení: Nejprve určím, stejně jako v 5.1.1, přenos rozpojeného obvodu, který ze
známého vztahu G0 ( s) = GS
( s) ⋅GR
( s)
je
G
0
G
0
= 1
1
=
3
s( s + 1)( 10s
+ 1) 10s
+ 11s
2 + s
1
1
jω
=
=
3
2
3 2
10 jω
+ 11 jω
+ jω
−10
jω
−11ω
+
( s)
( )
( ) ( )
3 2
−10
jω
+ 11ω
+ jω
=
2 6
5 2 4
5
4
2 2 4
2
100 j ω −110
jω
−10
j ω + 110 jω
−121ω
−11
jω
−10
j ω + 11 jω
+
3 2
−10
jω
+ 11ω
+ jω
=
2 6 2 4
4 2 4
100 j ω −10
j ω −121ω
−10
j ω +
3
( ω −10ω
)
3 2
2
−10
jω
+ 11ω
+ jω
11ω
=
=
+ j
6
4 2
6
4 2
6
4 2
−100ω
−101ω
− ω 14 −10044
ω −2
101 444
ω − 3 ω 14 −100
4ω
44 −2
101 4444
ω − 3 ω
Re
2 2
j ω
3 2
−10
jω
+ 11ω
+
⋅
3 2
jω
−10
jω
+ 11ω
+
3 2
−10
jω
+ 11ω
+ jω
=
6 4
4 4 2
−100ω
+ 10ω
−121ω
+ 10ω
− ω
Im
jω
=
jω
=
2 2
j ω
=
Tabulka 5.2
ω Re Im
0,2 -2,12 -0,58
0,22 -1,80 -0,38
0,24 -1,54 -0,25
0,26 -1,33 -0,15
0,28 -1,15 -0,08
0,3 -1,01 -0,03
0,4 -0,56 0,08
0,5 -0,34 0,09
0,6 -0,22 0,09
1 -0,05 0,04
Kořeny jmenovatele jsou 0, -0,1, -1. Žádný z
nich není kladný (neleží v pravé komplexní
polorovině), rozpojený obvod je tedy stabilní, a
proto je možno Nyquistova kritéria použít.
Frekvenční přenos G 0 (jω) rozdělím na reálnou a
imaginární část a sestrojím frekvenční
charakteristiku rozpojeného obvodu v
komplexní rovině (tab. 5.2, obr. 5.4). Kritický
bod [–1, 0] leží vlevo od frekvenční
charakteristiky G 0 (jω)a proto je obvod stabilní.