Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

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3-50 Wissensbasierte Modellierung Im Grenzübergang Δx → 0 erhalten wir die Differentialgleichungen yp ' = c1 (yk–yp) = – c1yp + c1yk yk ' = –c2 (yk–yp) = + c2yp – c2yk (3.90) Wie ist das Systemverhalten dieses gekoppelten Systems? Die Gleichungen (3.90) entsprechen einem linearen Differentialgleichungssystem (3.56) mit der Lösung (3.60). Für unser System ist somit λ 2 + λ(c1+c2) + (c1c2 – c1c2) = λ 2 + λ(c1+c2) = 0 oder für λ ≠ 0 λ = –(c1+c2) < 0 c1, c2 > 0 (3.91) Damit ist klar: Das System oszilliert nicht und hat einen exponentiellen Abfall des Wachstums. Die Startwerte beschränken sich auf positive Koeffizienten c1, c2. In Abb. 3.34 (a) ist die Warenentwicklung bei Preissteigerung zu sehen. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 y k yp x (a) Exponentieller Abfall (b) Phasendiagramm des Systems 0,9 yk 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 yp Abb. 3.34 Verhalten des Systems bei Preisanstieg bei c1 = 1, c2 = 2 Das Gesamtverhalten bei verschiedenen Startpunkten ist in Abb. 3.34 (b) gezeigt. Ausgehend von einem der 16 dargestellten Startwerte konvergieren die Zustände erwartungsgemäß zu einer Geraden, der Winkelhalbierenden. Dies entspricht dem Gleichgewicht mit yk = yp = y*. Die Trajektorien sind Geraden, da mit Gl. (3.90) die Beziehung y c ' k 2 ' p y Δy Δy k p Δy = – und damit = – bzw. c Δxc Δxc Δy 1 2 1 k p = – 2 c c 1 (3.92) resultiert. Die Gerade hat die negative Steigung c2/c1, in Abb. 3.34 (b) die Steigung –2.
Gleichgewichtssysteme 3-51 Durch direktes Einsetzen der Lösungen der Gleichgewichtsbedingung in das System ersparen wir uns die Modellierung der Dynamik und kürzen den Simulationsprozess ab. Bei größeren Systemen ist dies durchaus von Nutzen und in Wirtschaftssimulationen durchaus üblich. Beispiel Gleichgewichtsmodell für Steuerpolitik In Abb. 3.35 ist als Beispiel die Grundstruktur der Modellierung eines einfachen Gleichgewichtsmodells zur Analyse von Steuerpolitiken gezeigt. Abb. 3.35 Beispiel eines Gleichgewichtsmodells (aus [IAB253])
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Literaturverzeichnis Armstrong J. S
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Schnur P., Zika G.: Längerfristige
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L-5 - Abschätzung der Perspektiven
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