Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

Hierarchiebildung und Strukturanalyse 4-17
ten wären sowohl bei R als auch bei Q aufgetreten und somit in den Block eingegliedert
worden. Da wiederum jeder der eingegliederten Knoten streng zusammenhängend
mit den anderen Knoten seines Blockes war, wären alle betroffenen
Blöcke zu einem großen Block vereinigt worden, was nicht der Fall war. Also gibt
es keine zwei Blöcke im reduzierten Graphen, die streng zusammenhängend sind.
Es hat also keinen Sinn, den obigen Algorithmus für die Suche streng zusammenhängender
Komponenten auf den reduzierten Graphen anzuwenden. Wie
können wir dann den Graphen weiter zusammenfassen und komprimieren, ohne
dabei logisch-kausale Zusammenhänge zu verlieren?
Modellseparierung nicht-zyklischer Kausalketten
Für diesen Zweck ordnen wir den Graphen in Ebenen an. Dies geht, weil ja keine
Kreise existieren können. Ebene 0 enthält immer die Eingaben xi (exogenen Variablen),
jede Ebene darunter die Wirkungen der Komponenten darüber, und die
letzte Ebene die Variablen, auf die nur Wirkungen gehen, Ausgabevariablen yi.
Für unser Beispiel ist dies in Abb. 4.13(a) gezeigt. Dabei können wir auch die
Zeilen und Spalten der dazu gehörenden Adjazenzmatrix entsprechend anordnen,
so dass zuerst die Blöcke (Knoten) der Ebene 0, dann der Ebene 1 usw. eingetragen
werden. Die Spalten aller Komponenten der Ebene 0 können wir weglassen,
da sie ja keine Einflüsse (gerichtete Kanten) empfangen, siehe Abb. 4.13(b). Die
resultierende Adjazenzmatrix hat eine Form, die als „obere Dreiecksmatrix“ bekannt
ist: Alle von null verschiedenen Einträge finden sich oberhalb der Hauptdiagonale,
da eine Wirkung Aji ≠ 0 mit j > i auf eine Rückwirkung innerhalb einer
Ebene oder eine Ebene hinauf bedeuten würde. Dies ist aber von der Konstruktion
her ausgeschlossen.
Ebene 0
Ebene 1
Ebene 2
Ebene 3
5
2,7
4 8
1,3,6
9
Block 5 9 2,7 4 8 1,3,6
5 0 0 1 0 1 0
9 0 0 0 0 1 1
2,7 0 0 0 1 1 1
4 0 0 0 0 0 1
8 0 0 0 0 0 0
1,3,6 0 0 0 0 0 0
Abb. 4.13 (a) angeordneter Graph (b) Adjazenzmatrix
Die Adjazenzmatrix zeigt nur eine direkte Wirkung von einer Variablen auf die
andere an. Uns geht es aber um Kausalitätsstrukturen, also ganze Ketten von Wirkungen,
bei denen eine Variable über andere hinweg eine dritte Variable beeinflussen
kann. Wollen wir auch diesen Gedanken einfließen lassen, so erweitern