Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

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5-22 Simulation Beispiel Erzeugung von Zufallszahlen nach einer Exponentialverteilung Die Dichtefunktion pdf ⎧λ −λx ⎪ e für x ≥ 0 p(x) = ⎨ ⎪⎩ 0 sonst der Exponentialverteilung hat als Verteilungsfunktion F(x) = x x −λt –λt ∫ λe dt = –e 0 0 Die inverse Funktion ist oder (5.34) | = 1 – e –λx (5.35) y = F(x) = 1 – e –λx ⇔ e –λx = 1 – y ⇔ –λx = ln (1 – y) ( ) x = F –1 ln 1− y (y) = − λ In Abb. 5.11 sind alle drei Funktionen eingetragen. 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 F –1 (x) F(x) f(x) 0,0 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 Abb. 5.11 Exponentielle pdf, cdf und inverse Funktion. Y (5.36) Wir sehen in Abb. 5.11, dass die inverse Funktion grafisch gerade die an der Winkelhalbierenden Y (gestrichelt) gespiegelte Funktion F(x) darstellt. Die Formel (5.36) lässt sich übrigens noch weiter vereinfachen. Mit der Beobachtung, dass y ∈U(0,1) dieselbe Verteilungsfunktion hat wie 1 – y, können wir uns eine Subtraktion sparen und die Transformation vereinfachen zu
x = ln ( y) − λ Stochastische Simulation 5-23 (5.37) Aufgabe 5. 2 Man bestimme die Transformation einer uniform verteilten Zufallsvariable auf eine Dreiecksverteilung, definiert durch ⎧ a b+ x für x < 0 ⎪ b p(x) = ⎨ ⎪ a b- x für x ≥ 0 ⎪⎩ b Diskrete Verteilungen (5.38) Angenommen, wir haben eine diskrete Verteilung, gemessen als Histogramm. Wie erhalten wir eine danach verteilte Zufallsvariable für die Simulation? Betrachten wir dazu das Histogramm und seine Verteilungsfunktion in Abb. 5.12. 1 P5 P4 P3 P2 P1 0 y P1 P2 P3 P4 P5 P(x
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