Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

Stochastische Simulation 5-27
ist, müssen wir nicht m Logarithmen aus den m uniform verteilten Zufallszahlen
yi bilden, sondern können dies durch eine schnellere Multiplikation ersetzen.
Beispiel Normalverteilung
Die Normalverteilung ist nicht so einfach zu generieren. Nutzen wir die Methode
der inversen Verteilungsfunktion, so müssen wir erst analytisch die Verteilungsfunktion
der Gauß-Verteilung bilden. Dies ist die Gauß’sche Fehlerfunktion
Φ, die als Integral nur in tabellierter Funktion vorliegt. Eine Inversion
wäre nur über Tabellen möglich – eine sehr unbefriedigende Situation. Stattdessen
können wir uns die Überlagerung von Zufallszahlen zu Nutze machen.
Nach dem zentralen Grenzwertsatz wissen wir, dass die Verteilung für die
zentrierte Summenvariable x aus n unabhängigen Zufallsvariablen Xi
x(n) =
n
∑
i= 1
( X − μ)
i
σ
zur Normalverteilung N(μ,σ) mit μ = 0, σ = 1
(5.47)
lim x(n) = N(0,1) (5.48)
n→∞
konvergiert, unabhängig von der Art der Verteilungen für Xi. Der Unterschied
zu Gl.(5.46) liegt dabei in der Anzahl n der Zufallszahlen: Für große m geht
die m-Erlang-Verteilung in eine Normalverteilung über. Wie können wir uns
konkret aus der uniformen Verteilung die Normalverteilung generieren?
Angenommen wir verfügen über einen Zufallsgenerator der uns uniform verteilte
Xi aus dem Intervall [–d, +d] mit dem Erwartungswert μ = 0 liefert. Dann
ist die Wahrscheinlichkeitsdichte p(X) = 1/(2d). Die erwartete Varianz von X
wird von den einzelnen Varianzen der Xi gebildet, die sich überlagern. Dazu
betrachten wir die n gezogenen Zufallszahlen als Zufallsvektor
X = (X1, X2, ..., Xn) T mit dem Erwartungswert μ = (μ1, μ2, ...,
μn) T
dessen Varianz sich ergibt zu
σ 2 = 〈(X–μ) 2 〉 =
n
i= 1
2
( Xi
− μi
)
= (σ1 2 +...+σn 2 ) = nσ 2
∑ = ∑ ( Xi
− μi
)
bei gleicher Varianz σ 2 der Zufallswerte Xi und ist hier bei μi = 0
n
i= 1
2
(5.49)
(5.50)