Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

x2
α
d
b
× x
a
u
Hyperebene mit
g(x) = 0
Lineare Modellierung 2-7
Abb. 2.4 Lineare Approximation einer verrauschten Funktion
Für einen beliebigen Datenpunkt x = (x1,..,xn,y) T ist die Projektion auf einem beliebigen
Vektor u, der senkrecht auf der Geraden (Hyperebenen) steht, mit x T u
gegeben. Normieren wir den Spaltenvektor u auf die Länge eins, so ist die Projektion
x T u/|u| = x T a auf den normierten Einheitsvektor a = u/|u| gerade die Strecke b
+ d in der Zeichnung. Für alle x, die auf der Geraden (Hyperebenen) liegen, ist
diese Projektion genau der Abstand b vom Nullpunkt zur Geraden. Für alle Punkte
der Geraden gilt somit die Geradengleichung
g(x) = x T a − b = 0 |a| = 1 Hesse'sche Normalform
der Hyperebene
x1
(2.14)
Der Abstand d eines Datenpunktes x von der Geraden ist gerade der Anteil der
Projektion von x auf den normierten Abstandsvektor (Vektor der Flächennormalen)
a = u/|u|, der über b hinausgeht
d = x T u
u − b = g(x) = xT a − b (2.15)
Damit lautet das Fehlerkriterium
min R(a,b) = ( ) ( ) 2
2
2
T
min d = min g x = min x a -b |a| = 1 (2.16)
a,b a,b a,b
Das Minimum der Zielfunktion R(a,b) = 〈d 2 〉 bezüglich des Abstandes b ist erreicht,
wenn
∂R(
a,b)
∂b
so dass das Ziel zu
= 2〈x T a − b〉 = 0 oder b = 〈x T a〉 (2.17)