Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

4-6 Hierarchische Systeme
n
n
* * n
*
ri
ri
ri
ri(1) = ∑ A (1) = A (0) ⋅
ij ∑ =
ij ∑ A (0) = r
ij
i (0) = ri* (4.2)
j= 1
= r (0) r (0) j= 1 r (0)
j 1 i
Leider haben wir die Tabellenwerte dadurch so verändert, dass dann die Spalten
falsche Spaltensummen aufweisen. Dies korrigieren wir, indem wir danach auch
alle Spalten mit dem passenden Koeffizienten multiplizieren
i
Aij(2) = Aij(1) sj*/sj(0) mit i = 1...m (4.3)
Leider haben wir aber durch die Korrektur wieder falsche Zeilensummen erhalten,
so dass wir den Algorithmus erneut durchführen müssen. Der Algorithmus konvergiert
und nach einer gewissen Anzahl von Iterationen können wir anhalten.
Formal können wir beide Operationen, die Korrektur der Zeilensumme und die der
Spaltensumme, als eine Operationsfolge hinschreiben. Dazu bilden wir eine Diagonalmatrix
Matrix R(k), die als n Hauptdiagonalelemente die Koeffizienten
ri*/ri(k) enthält, und eine Diagonalmatrix S(k), die als Hauptdiagonalelemente die
m Koeffizienten sj*/sj(k) enthält. Eine Multiplikation mit S von rechts an A multipliziert
die j-te Spalte von A mit dem Koeffizienten sj*/sj(k), so dass A⋅S die
Spaltenskalierung durchführt. Entsprechendes gilt auch für die Zeilen, so dass die
Iteration vom k-ten Schritt auf den k+1-ten Schritt auch als
Â(k+1) = R(k) A(k)
A(k+1) = Â(k+1) S(k+1)
schreiben lässt und damit
A(k+1) = R(k) A(k) S(k+1) RAS-Skalierung (4.4)
wird. Das Verfahren wird „RAS“-Verfahren genannt. Da es mit den (positiven)
Diagonalmatrizen zweifach proportional skaliert, wird es auch als „biproportionale
Skalierung“ bezeichnet. Allgemein wird das Verfahren für die Anpassung von
existierenden Input-Output-Tabellen an neue Nebenbedingungen, neue Zeilen-
und Spaltensummen, benutzt.
Das Ergebnis konvergiert zwar in der Praxis nach einigen Iterationen, aber eine
eindeutige Lösung ist nicht garantiert, da die n×m Matrixkoeffizienten durch die
n+m Nebenbedingungen nicht eindeutig festgelegt werden können. Trotzdem
liefert es bei einer guten Ausgangsmatrix eine brauchbare Lösung.
4.2 Hierarchiebildung durch lineare Multi-Level-
Modellierung
Die Zusammenfassung (aggregation) bestehender Module zu einem Gesamtsystem
ist nur ein Ansatz. Ein anderer besteht darin, existierenden Kontext schrittweise
in das Modell hineinzunehmen, um es Schritt für Schritt zu verfeinern und
komplex aufzubauen.
i