Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

3-16 Wissensbasierte Modellierung
rung, dass sowohl die Zunahme ΔBB als auch Abnahme der Bevölkerung ΔBD pro
Jahr jeweils proportional zur Bevölkerungsstärke ist:
und
Δ
Δt
B B
Δ
–
Δt
B D
~ B oder
~ B oder
Δ
Δt
B B
Δ
Δt
B D
= CB B CB = Geburtenanteil in Δt
= – CD B CD = Sterbeanteil in Δt
Der Geburten- bzw. Sterbeanteil fungiert dabei als Proportionalkonstante zwischen
der Bevölkerungszunahme bzw. –abnahme. Beide Effekte überlagern sich
ΔB = ΔBD + ΔBD = CBBΔt – CDBΔt = (CB–CD)BΔt
so dass im Zeitabschnitt Δt gilt
Δ B
= (CB–CD)B
Δt
Für sehr kleine Zeitabschnitte gehen wir auf den Grenzwert über
ΔB
t
lim
Δt→0
Δ
dB
= = (CB – CD)B (3.21)
dt
Dies hat nach Gl. (3.13) die Lösung
B(t) = B(0) e
( B D
C −C
) t
(3.22)
Entsprechend wächst ohne Nebenbedingungen die Bevölkerung bei (CB – CD) > 0
ins Unendliche und nimmt bei (CB – CD) < 0 ab zu null. In der Realität lässt sich
im Mittel CB = 0,03 und CD = 0,01 annehmen.
Die eigentliche Bevölkerungsentwicklung aber wird durch die Nebenbedingungen
wie Gesundheit (Umwelt), Ernährungsmöglichkeiten u.dgl. bestimmt, die außerhalb
dieses Subsystems modelliert werden und in das Subsystem hineinwirken.
Den Systemgraphen (Systemdiagramm) dazu können wir aufzeichnen, indem wir
zusätzlich zu den Kästen noch runde Kreise mit dem Multiplikationszeichen *
einführen, siehe Abb. 3.8. Sie sollen Zwischengrößen visualisieren, die sich rechnerisch
aus den Zustandsgrößen der Kästen durch Multiplikation ergeben. Wie
vorher bedeutet dabei ein abgehender Pfeil vom Kasten, dass die Zustandvariable
wirkt, und ein eingehender Pfeil, dass die Wirkung differentiell ist. Die Größe, die
neben dem Pfeil steht, wird vor der Operation im Kreis (hier: "Multiplikation")
mit der Variablen multipliziert. Natürlich lässt sich dies auch implizit visualisieren
durch die Notation einer Gewichtung eines Einflusses. Allgemein können wir aber
in den runden Kreisen auch eine andere Funktion oder Operator vermerken, der
die eingehenden Pfeile (Variablen) symmetrisch miteinander verknüpft. Beispielsweise
lässt sich a–b als Addition (Operator +) auffassen, bei der ein Term
mit –1 vorher multipliziert wurde.