Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

3-52 Wissensbasierte Modellierung
Zur Vereinfachung wird auf Produktionsverflechtungen und Außenhandelsbeziehungen
verzichtet. Man nimmt dabei an, dass alle Handelnden rationale,
wirtschaftlich optimale Entscheidungen treffen und der dabei entstehende
Preismechanismus für Angebot und Nachfrage entscheidend ist.
In der Abbildung ist im Wesentlichen die Wirkstruktur von Steueränderungen
gezeigt; die dahinter liegende Dynamik von Angebot und Nachfrage ist als statisches
Gleichgewicht in den jeweiligen Kästen (Gütermärkte, Anschaffungspreise
usw.) vorausgesetzt. Schreitet der Staat mit Steuereingriffen ein, so stellt
sich jeweils ein neues Gleichgewicht darin ein, das man im Vergleich mit dem
vorherigen Gleichgewicht quantitativ und qualitativ beurteilen kann.
Voraussetzung einer quantitativ korrekten Analyse ist nicht nur die korrekte
Modellierung, sondern auch die Anpassung der Parameter des Modells an die
Wirklichkeit. Dazu gibt es verschiedene Verfahren.
3.5 Schätzung der Parameter
Ähnlich wie bei den linearen Systemen müssen wir auch die Parameter θ der
aufgestellten und verwendeten Modelle aus den Beobachtungen erschließen. Eine
einfache Methode dafür besteht darin, die Parameter θ = (θ1, ...,θn) iterativ so
lange zu optimieren, bis der Fehler ε = y(t) – ˆy (t|θ) im quadratischen Mittel
RN(θ) = 1
N
minimal wird
N
2
εtθ
t= 1
θN* = arg min
θ RN(θ) .
∑ (3.93)
(3.94)
Damit haben wir uns folgende Strategie gewählt: Suche diejenige Werte der Parameter
θ, die den kleinste Abweichung der Ausgabe von der beobachteten Ausgabe
bewirken. Allgemein bedeutet dies die Optimierung einer Zielfunktion
RN(θ) = 1
N
N
∑ f ( εtθ
) = 〈f(εtθ)〉t
t= 1
(3.95)
bei der die Mittelung (Erwartungswert) einer Funktion f errechnet wird, die vom
Fehler εtθ abhängt.
Wählen wir zum Beispiel als Funktion den negativen Logarithmus der Wahrscheinlichkeitsdichte
f(εtθ) = – ln p(εtθ) maximum likelihood-Schätzung (3.96)