Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

Grundelemente dynamischer Modellierung 3-29
Dies bedeutet nicht, dass man die Variablen ohne Beachtung der Konstanten ansetzen
soll oder nicht auf die Konsistenz der Einheiten achten müsste, in denen die
Konstanten gemessen werden. Die dimensionslosen Differentialgleichungen der
dynamischen Modellierung gestatten eine Formulierung, die unabhängig vom
Problem eine bessere Wiedererkennung der Formulierung der eigentlichen Systemdynamik
in vielen Anwendungen erlaubt.
Allgemein ersetzen wir in der Zustandsgleichung (3.32) und der Ausgabegleichung
(3.33) jede Komponente zi(t) durch ki⋅ui(t) bzw. zi'(t) durch ki⋅ui'(t), wobei
ki jeweils eine typische, Einheiten-behaftete Konstante ist.
Auch die Zeit lässt sich so normieren: Skalieren wir die Zeit neu mit einem Faktor
T, etwa der typischen Zeit zwischen zwei Ereignissen, etwa zwei Schwingungsmaxima,
so erhalten wir eine normierte Zeit
τ = t/T oder t = Tτ und dt = T dτ (3.38)
Dies setzen wir ebenfalls für die Zeit t ein, soweit sie explizit in den Gleichungen
auftaucht. Für die Ableitungen gilt dann statt
die Gleichung
dzi
dt = fi (z(t),x(t),t) i-te Zustandsgleichung (3.39)
dui
dτ =
T
k fi(k1u1(t),...,knun,x(t),Tτ) normierte Zustandsgleichung (3.40)
i
Damit ist eine dimensionslose, normierte Lösung möglich. Eine diskrete Aussage
für die konkrete Problemstellung erhält man aber erst, wenn man alle Ergebnisse
der Lösung bzw. Simulation wieder in den dimensions- und Einheiten-behafteten
Raum zurück transformiert hat.
3.3.2 Systeme ohne Zustandsvariable
Im einfachsten Fall haben wir überhaupt keine Zustandsvariable. Dies bedeutet,
dass wir auch keine Veränderungsraten und dazu gehörenden Differentialgleichungen
haben. Alle Ausgaben lassen sich direkt durch die Eingaben erschließen
y(t) = g(x(t),t) (3.41)
Ein Beispiel dafür ist die Funktion y = a sin 2 (kt), deren Systemdiagramm in gezeigt
ist.