Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

5-14 Simulation
μ =
x x
1 1
∫ x ⋅c
dx ∫ c dx =
x x
0 0
2 x1 x1
x
c | cx |
2
x0 x0
= 1
2
Für das Intervall [0,1] ist also μ = ½ .
Die Varianz σ 2 in einem Intervall [x0,x1] ist definiert als
σ 2 =
x1 x1
2
x0 x0
(x − x )
2 2
1 0
x − x
1 0
(5.14)
∫ (x − μ)
p(x)dx ∫ p(x)dx
(5.15)
und damit für unsere uniforme Verteilung
σ 2 =
=
x1 x1
2
(x − μ)
1 1
∫ (x − μ)
cdx ∫ cdx = c | cx |
3
x0 x0
(x − μ) − (x − μ)
3 3
1 0
3(x − x )
1 0
Für das Intervall [0,1] ergibt sich so zu
σ 2 =
( 1/ 2) − ( −1/
2)
3 3
3
= 2 / 8
3
= 1
12
3 x x
x0 x0
(5.16)
Aufgabe 5. 1
Angenommen, die Wahrscheinlichkeitsdichte p ist im Intervall [0,d] konstant mit
p(x) = c. Welchen Erwartungswert μ und Standardabweichung σ hat sie?
5.2.2 Messen von Zufallszahlen
Wie erhalten wir die Funktionen P(.) oder p(.) einer Zufallsvariablen? Die
Dichtefunktion p(x) ist der Grenzwert eines Histogramms, das dadurch entsteht,
dass man den Wertebereich der Zufallsvariablen x in Intervalle Δx einteilt und für
jedes Intervall zählt, wie oft die Zufallsvariable darin beobachtet wurde. In Abb.
5.9 ist ein Beispiel zu sehen. Für eine sehr große Anzahl beobachteter x und Δx →
0 erhalten wir dann die Dichte p(x) der Zufallsvariablen. In jedem Abschnitt i gilt
dann
pi =
Anzahli
Anzahl
∑
k
k
Wie erstellen wir uns im Detail ein solches Histogramm?
(5.17)