Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

5-28 Simulation
2
σ = n 〈Xi 2 + d
〉 = n ∫ p(X) X
−d
2 dX = n
+ d
2d ∫
−d
X 2 dX = n
2d
3
X d
|
3 −d
= n
3 d2 (5.51)
Eine vorgegebene Varianz σ 2 lässt sich also mit einer Summe von n = 3σ 2 /d 2
uniform verteilten, zentrierten Zufallszahlen erreichen. Umgekehrt wird eine
Normalverteilung N(0,1) mit uniform verteilten Zufallszahlen Xi aus dem Intervall
[-½ , ½ ] erreicht, wenn n = 12 ist. Damit haben wir einen einfachen
Algorithmus gefunden, normal verteilte Zufallsvariable zu generieren. In Abb.
5.14 ist dies verdeutlicht.
PROCEDURE GaussRandom(mu,sigma:REAL):REAL;
(* generiert einen normalverteilten Zufallswert
mit Mittelwert μ und Streuung σ*)
VAR n,sum:REAL;
BEGIN
sum:=0;
FOR i:=1 TO 12 DO
sum :=sum + UniformRandom() - 0.5
END;
RETURN sum*sigma + mu;
Abb. 5.14 Pseudocode für normal verteilte Zufallszahlen
Möchte man anstelle einer normal verteilten Zufallsvariablen z mit σ = 1 eine
Normalverteilung mit anderer Standardabweichung erhalten,
p(z,1) =
1 −
e
2π
z / 2
2
→ p(x,σ) =
1
e
σ 2π
(x −μ)
2
−
2σ
2
so ist es ungünstig, dazu die Anzahl der Summanden zu verändern; bei geringer
Streuung könnte weniger als ein Summand übrig bleiben. Stattdessen ist es
besser, die Transformation von z = (x–μ)/σ auf x mit Gl. (5.29) vorzunehmen,
so dass der N(0,1) verteilte Zufallswert z mit der Standardabweichung σ zu x =
zσ multipliziert wird. Für schmale Verteilungen „stauchen“ wir durch die Skalierung
die Normalverteilung oder „ziehen“ sie für breite Verteilungen auseinander.
Beispiel χ 2 -Verteilung und Fn,m-Verteilung
Eine χ 2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden (χn 2 -Verteilung) lässt sich erzeugen,
indem man Zufallszahlen erzeugt mittels Überlagerung von n unabhängigen,
normal verteilten Zufallszahlen