Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

Die Grenzen des linearen Modells 2-15
Der Test auf eine Nullhypothese lässt sich übrigens auch verwenden, wenn wir
testen wollen, ob ar einen bestimmten, festen Erwartungswert s hat. Dazu definieren
wir uns einfach eine Variable r a% = (ar – s), für die wieder die Nullhypothese
gelten muss. Ist die Nullhypothese für r a% erfüllt, so bedeutet dies, dass ar den
Erwartungswert s ≠ 0 hat und damit nicht weggelassen werden kann.
Wie funktioniert nun der Test? Wenn wir die Verteilungsdichte p( â r ) der beobachteten
Werte r â für ar erfassen, so erhalten wir eine Verteilung mit der beobachteten
Varianz σr 2 . Die Werte von â r sollten dabei nicht signifikant („zu
stark“) von null abweichen. Was bedeutet „zu stark“ konkret? Nehmen wir an,
dass es sich um eine Normalverteilung handelt, so sollten die beobachteten â r mit
einer Wahrscheinlichkeit 1 – α kleiner als der Wert pα sein, z.B. 1 – α = 95%,
siehe Abb. 2.6. Dies entspricht dem Integral (Fläche unter der Kurve) der Dichte
von –∞ bis pα. Ist dagegen die relative Anzahl der überschreitenden Werte größer
als α, so lässt sich die Nullhypothese nicht aufrecht erhalten und wird abgelehnt.
α
p(âr)
-pα
0 pα
Abb. 2.6 Rechts- und linksseitiger Hypothesentest
Wir sprechen in diesem Fall von einem rechtsseitigen Hypothesentest und akzeptieren
die Nullhypothese, wenn
Prob( r â > pα) < α z.B. α = 5% ⇒ pα = 1,645 (2.40)
gegeben ist. Möchten wir sichergehen, dass die beobachteten Werte auf beiden
Seiten nicht zu stark abweichen, also im nicht schraffierten Bereich der Dichte in
Abb. 2.6 bleiben, so fordern wir zusätzlich noch den linksseitigen Hypothesentest:
Prob( r â < –pα) < α (2.41)
Die Kombination beider Tests wird als beidseitiger Hypothesentest bezeichnet.
Die Nullhypothese wird in diesem Fall akzeptiert, wenn
Prob(| r â | > pα) < α z.B. α = 5% ⇒ pα = 1,96 (2.42)
gilt. Die praktische Durchführung des Tests verwendet für die Bestimmung der pα
bei gegebenem α die in Tafeln erfassten Werte der Normalverteilung, also des
Integrals der Gauß-Funktion, genannt „Gaußsche Fehlerfunktion Φ“. Dabei wird
eine auf eins normierte Varianz σ 2 der Parameter vorausgesetzt. Für den praktischen
Test müssen wir also den aus den Messwerten errechneten Parameterwert
α
âr