Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

12
10
8
6
4
2
0
N2
Grundelemente dynamischer Modellierung 3-39
N1
0 10
Abb. 3.27 Populationsentwicklung bei Futterkonkurrenz. Parameterwerte sind
N1(0)=0,1, N2(0)=8, a1=1,c1=0,1,a2=0,1,c2=0,1
Wann ist das System stabil? Es lässt sich zeigen, dass (unabhängig von der
Anfangszahl) Population 1 die Population vollständig bis zum Aussterben (N2
→ 0) verdrängt, wenn a1/c1 > a2/c2 ist; im umgekehrten Fall wird Population 1
verdrängt.
Beispiel Räuber-Beute-System
Ein anderer wichtiger Fall tritt ein, wenn eine Population von der anderen lebt,
etwa bei Füchsen und Hasen. Bei einem solchen „Räuber-Beute“-System, wie
es von Volterra 1928 eingeführt wurde (und damit die Populationsdynamik
begründete), ist die Sterberate von Spezies 1 geringer durch ein Nahrungsangebot,
der Spezies 2, und die Sterberate von Spezies 2 höher durch das Gefressen
werden durch Spezies 1:
β1 = γ1 – c1N2 Fressen von Spezies 2
β2 = γ2 + c2N1 Gefressen werden von Spezies 1
Die vollständigen Differentialgleichungen sind dann
dN1
dt
dN
dt
2
= (α1 – γ1 + c1N2)N1 = a1N1 + c1N1N2 Räuber
= (α2 – γ2 – c2 N1)N2 = a2N2 – c2N1N2 Beute
(3.66)
(3.67)
Dabei ist klar, dass α1 – γ1 < 0 gelten muss, da ohne Beutetiere N2 die Räuber
aussterben, also eine negative Wachstumsrate haben müssen. Umgekehrt ist
auch α2 – γ2 > 0, da ohne Räuber N1 die Beute sich ungehemmt vermehren
können sollte.