Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

Der Simulationsrahmen 5-45
Bei nicht-stationären Poisson-Prozessen ist die Rate eine Funktion der Zeit
λ = λ(t) mit der Stammfunktion Λ(t) =
Definieren wir uns
a(t,s) = Λ(t+s) – Λ(t) =
t+ s
∫
t
λ(y)dy
t1
∫ λ(y)dy
(5.82)
t0
(5.83)
Bei konstantem λ wird a(t,s) = λs. Im nicht-stationären Fall müssen wir aber λs
ersetzen durch a(t,s)
P(k) =
a(t,s) e
k!
k −a(t,s)
k = N(t + s) − N(t)
mit
k = 0,1, 2,..., t,s ≥ 0
(5.84)
Um die Funktion λ(t) für die Realität abschätzen zu können, müssen geeignete
Histogramme aufgestellt werden. Dabei muss die Zeit in kleine, aber auch wiederum
nicht zu kleine Teilintervalle zerlegt werden.
Beispiel Ladengeschäft
Für ein Ladensgeschäft soll λ(t) geschätzt werden. Dazu messen wir an mehreren
Tagen die Anzahl der Kunden, die innerhalb eines 10-Minuten-Intervalls
eintreffen. Für jedes Intervall jeden Wochentags gibt es unterschiedliche Anzahlen.
Wir mitteln die Anzahl für das Intervall einer Tageszeit über alle Wochentage
und erhalten so einen tageszeitabhängigen Erwartungswert.
Wie modellieren wir einen Prozess, bei dem auch die Forderung (1) verletzt wird?
Solche Prozesse, bei denen die Kunden in Gruppen erscheinen, beobachten wir bei
allen Sportveranstaltungen, Buffet-Warteschlangen etc. bei denen ein fester Zeitpunkt,
der für alle Kunden vorgegeben wird. Ein Ansatz,. auch solche Situationen
zu beschreiben, besteht darin, nicht die Einzelpersonen, sondern die Gruppen als
Ereignisse zu betrachten. Die Zwischenankunftszeiten der Gruppen kann dann wie
vorher mit einer exponentiellen Verteilung modelliert werden. Die Anzahl der
Mitglieder einer Gruppe ist hier eine zweite Zufallsvariable, deren Verteilung über
diskrete Histogramme selbst wieder approximiert werden kann. Die Anzahl der
eintreffenden Kunden bis zum Zeitpunkt ti ist also nach N(t) Gruppen der Größe
Bi
x(t) =
N(t)
∑ Bi
i= 1
t > 0 (5.85)
Der Verbund der Zufallsvariable {x(t), t>0} mit dem Poisson-Prozess {N(t), t>0}
wird "verbundener Poisson-Prozess" genannt.